脉冲响应的卷积

第2章线性时不变系统LinearTime-InvariantSystemsII第2页2.3线性时不变系统的性质（PropertiesofLinearTime-InvariantSystems）()()()()()()()()()kkynxnhnxkhnkxnkhkhnxn一.卷积积分与卷积和的性质1.交换律：()()()()()()()()()ytxthtxhtdxthdhtxt第3页结论：一个单位冲激响应是h(t)的LTI系统对输入信号x(t)所产生的响应，与一个单位冲激响应是x(t)的LTI系统对输入信号h(t)所产生的响应相同。()xt()yt()ht()xn()yn()hn()ht()yt()xt()hn()xn()yn第4页()xn12()()hnhn12()()[()()]ynxnhnhn()xt12()()htht12()()[()()]ytxththt()xn1()hn2()hn1()()xnhn2()()xnhn()yn()xt1()ht2()ht()yt2.分配律：12121212()[()()]()()()()()[()()]()()()()xnhnhnxnhnxnhnxththtxthtxtht第5页结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。第6页3.结合律:12121212[()()]()()[()()][()()]()()[()()]xnhnhnxnhnhnxththtxththt()xt1()ht2()ht1()()xtht12()[()()]()ytxththt()xn1()hn2()hn12()[()()]()ynxnhnhn12()()htht()xt()xn12()()[()()]ytxththt12()()[()()]ynxnhnhn12()()hnhn第7页•两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲)响应等于各子系统单位冲激(脉冲)响应的卷积。•由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。结论：第8页12211221()()()()()()()()()()()()xnhnhnxnhnhnxththtxththt()xn()yn1()hn2()hn()xt()yt1()ht2()ht()xn()yn2()hn1()hn()xt()yt1()ht2()ht产生以上结论的前提条件：①系统必须是LTI系统；②所有涉及到的卷积运算必须收敛。第9页如：()xt平方乘22()2()ytxt()xt乘2平方2()4()ytxt若交换级联次序，即成为：又如：若，虽然系统都是LTI系统。当时，如果交换级联次序，则由于不收敛，因而也是不允许的。12()()(1),()()hnnnhnun()1xn()()xnun()1xn1()hn2()hn0()0yn显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。第10页4.卷积运算还有如下性质：②若，则()()()xthtyt000()()()()()xtthtxthttytt卷积积分满足微分、积分及时移特性：()()()xthtyt()()()()()[()]()()[()][()]tttxthtxthtytxdhtxthdyd①若，则第11页②若，则()()()xnhnyn000()()()()()xnnhnxnhnnynn卷积和满足差分、求和及时移特性：()()()xnhnyn[()(1)]()()(1)[()]()()[()]()nnnkkkxnxnhnynynxkhnxnhkyk①若，则恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：第12页将微分一次有:()xt()()()xtttT()xttT0(1)(1)()()()()[()()]()()ytxththtttThthtT例如：2.2中的例2根据微分特性有:02T2Tt()ht第13页T2TT2T()yt3T2TT0t212T232TT3T2T0t()yt()()tytyd利用积分特性即可得:冲激与阶跃函数的卷积000121212''()()00()*()()*()()()()()*()()*()()()*()()*()()()*()()()*()()()*()()kktftttftftdftftttttftfttfttttttfttftttfttftftttfttftutfd第15页二.LTI系统的性质1.记忆性：LTI系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。()()()kynxkhnk则在任何时刻，都只能和时刻的输入有关，则式中只能有时的一项为非零，因此必须有：根据，如果系统是无记忆的，n()ynnkn()0,hnkkn即：()0,0hnn第16页所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：()()()()hnknhtkt()()()()()()xnhnkxnxthtkxt当时系统是恒等系统。1k如果LTI系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要求，则系统是记忆的。此时，第17页2.可逆性：如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。()xt()xt()ht()gt因此有：()()()()()()htgtthngnn)()}()({)()()()(nxngnhnxngnhnx)()}()({)()()()(txtgthtxtgthtx第18页例如：延时器是可逆的LTI系统，，其逆系统是，显然有：0()()httt0()()gttt00()()()()()htgtttttt累加器是可逆的LTI系统，其，其逆系统是，显然也有：()()hnun()()(1)gnnn()()()[()(1)]()(1)()hngnunnnununn但差分器是不可逆的。第19页3.因果性：由，当LTI系统是因果系统时，在任何时刻，都只能取决于时刻及其以前的输入，即和式中所有的项都必须为零，即：()()()kynxkhnkn()ynnkn()0,hnkkn()0,0hnn或:对连续时间系统有:这是LSI系统具有因果性的充分必要条件。()0,0htt第20页根据稳定性的定义，由，若有界，则;若系统稳定，则要求必有界，由()()()kynhkxnk()xn()xnkA()yn()()()()()()kkkynhkxnkhkxnkAhk可知，必须有:()nhn对连续时间系统，相应有:()htdt这是LTI系统稳定的充分必要条件。4.稳定性：第21页5.LTI系统的单位阶跃响应：在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对或所产生的响应。因此有:()ut()un()()()()()()ytuthtynunhn()()()()tdythdhtytdtLTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。()()()()(1)nkynhkhnynyn