应用随机过程答案1

2.（1）求参数为的()bp,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数pbxxexpbxpbxpp,0000,1⎪⎩⎪⎨⎧≤Γ=−−（2）求其期望和方差。（3）证明对具有相同参数的bΓ分布，关于参数具有可加性。p函数有下面的性质：解（1）首先，我们知道Γ()()!1−=Γpp根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pppxjtbppxjtbppxjtbppxjtbppxjtbppbxppjtxjtxjtXXjtbbjtbppbdxexjtbppbdxexjtbppbdxexjtbppbexjtbpbdxexpbdxexpbedxxpeeEtf⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pXjtbbtf⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdxxpbpdxexpbbpdxexbppbexbpbdxexpbdxexpbxdxxxpXEmbxppbxppbxppbxppbxppX==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111bppdxxpbppdxexpbbppdxexbppbdxexbppbexbpbdxexpbdxexpbxdxxpxXEbxppbxppbxppbxppbxppbxpp+=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X所以，[]()222221bpbpbppmXEDXX=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jtjntjteneetf−−=115.试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。()tf解.根据定理1.3.2（第10页）,我们只需证明是连续非负定，且。()10=f注意到()()()()∑∑=−===−−=−−=nkjktnkjktjtjtnjtjtjtjntjteneneeeneeneetf1111110所以连续且.下面我们证明()tf()10=f()tf是非负定的（性质1.3.3，第8页）。对任意给定的自然数M，实数以及复数，由于Mttt,,,21LMaaa,,,21L()()()()()()∑∑∑∑==−−−==−−=−=MiMkkittjttjnttjMiMkkikiaaeneeaattfAkikiki111111()()()()()()()()()()()AaaeneeaaeneeaattfAMkMiikttjttjnttjMiMkkittjttjnttjMiMkkikiikikiikkikiki=−−=−−=−=∑∑∑∑∑∑==−−−−==−−−−−−==1111111111nejltA,,2,1nlL=所以是实数。其次，容易证明对任意函数是非负定的。因此，函数是非负定的。()tf()tf是特征函数。()tf下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。根据定理1.3.1（第10页），()()()()∑∑∑∫∫===∞∞−−∞∞−−−=−===nknknkjktjtxjtxkxnkxndteendtetfxp11112212121δπδπππ()211ttf+=5.试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。解.容易证明连续且()tf()10=f()tf，下面我们证明是非负定的。对任意给定的自然数M，实数以及复数，首先，由于Mttt,,,21LMaaa,,,21L()()∑∑∑∑====−+=−=MiMkkikiMiMkkikiaattaattfA1121111，是实数。其次，A显然()()(){}(){}0max11max11112212,112,11211≥+++−+=−+≥−+=−=∑∑∑∑∑∑======MkikiMiMkkikikiMiMkkikiMiMkkikiaaattaattaattaattfAL所以是非负定的。()tf最后，根据定理1.3.1（第10页），()()xjtxjtxedtetdttfexp211121212=+==∫∫∞∞−−∞∞−−ππ()∞∞−∈,x()2,σaN7.设相互独立服从正态分布nXXX,,,21L。试求维向量的分布，并求其均值向量和协方差矩阵，再求n∑==niiXnX11(nXXX,,,21L)的概率密度函数。()2,σaN解.由于相互独立服从正态分布nXXX,,,21L，维向量的均值向量为n()aaa,,,L=μ(nXXX,,,21L)，协方差矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222σσσOB，()的分布为()BN,μ。nXXX,,,21L()1,,1,11Lnl=∑==niiXnX11，则，al='μ根据题意，。令()nnnlBl2222'11111,,1,11σσσσ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=MOL根据性质1.4.4（第14页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=naNlBllNX2'',,~σμ()1,0N11.设相互独立，且都服从211XXY+=321,XXX和。试求随机变量和组成的随机向量()21,YYY=的特征函数。312XXY+=解.令，则()321,,XXXX=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111,0~NX()()()XAXXXXXXXYYY=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++==:100111,,,,321312121⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2112100111101011111'AA根据性质1.4.5（第15页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112,0,~NBNYYYμ根据定理1.4.1（第13页），()()222121''exp211221exp21expttttttttBtjtfYYY−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=μ()1,0N。试求12.设相互独立，且都服从321,XXX和()321,,XXX的特征函数（1）随机向量（2）设,,,321321211XXXSXXSXS++=+==求随机向量()的特征函数。321,,SSS()21,YY（3）和的特征函数。121XXY−=232XXY−=组成的随机向量跟上题的解法完全一样。()1,0N15.设是相互独立同服从正态分布YX,的随机变量，讨论和YXV=的独立性。22YXU+=解.我们知道，随机向量的概率密度函数为(YX,)()2,2221,yxYXeyxf+−=πYXV=根据，有。由0UYVX=22YXU+=知，代入，可得，所以Y由两个解，即：22YXU+=()()22221YVYYVU+=+=,1,12221VUYVUY+−=+=类似的，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212111VUYVVUX⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+−=212111VUYVVUX下面我们求Jacobi行列式。容易验证：()2/3211VUVX+=∂∂2112VUVUX+=∂∂，，()2/3211VVUVY+−=∂∂21121VUUY+=∂∂，，所以，()()()21111111121,,VVYUYVXUXVUYXJ+−=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=类似地，()()()2222121,,VVUYXJ+−=∂∂=因此，随机向量的概率密度函数为(VU,)()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=2exp11211211121exp2121,11,1,222222222,122,,uvvvuvvuJvuvvufJvuvvufvugYXYXVUππ由上式可得U和V的概率密度函数：()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−2exp21112exp212exp1121,22,udvvudvuvdvvugugVUUππ()()()()()()202022,112exp21111212exp11212exp1121,vuvduuvduuvduvugvgVUV+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∞∞∞∞−∞∞−∫∫∫ππππ所以，()()()vgugvugVUVU=,,即是独立的。VU和17.设二维随机变量的概率密度函数为YX,()⎪⎩⎪⎨⎧=−−其它00,0,1,yxeyyxpyxy[]yYXE=。试求解.容易验证，Y的概率密度函数为()()yyxyyxyyxyYeeyyedxeyedxeydxyxpyp−∞−−∞−−∞−−∞∞−=−====∫∫∫000111,在下的条件概率密度函数为（第24页）XyY=所以()()()yxyyxyYYXeyeeyypyxpyxp−−−−===11,||相应的条件数学期望等于[]()0,|00|====∫∫∞−∞yydxeyxdxyxxpyYXEyxYX习题二()2,0σN()tBtAtXωωsincos−=2．设，其中是相互独立且有相同的BA,分布的随机变量，()∞∞−∈,t。试求：ω是常数，（1）的一个样本函数；()tX（2）的一维概率密度函数；()tX（3）的均值函数和协方差函数。()tX()2,0~,σNBA()0≡tX是一个样本函数。解.（1）由于0==BA，取，则（2）由于。根据性质1.4.4（第14页）知，对任意，()()()CBAttBAtX,:sincos,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=ωωt()()222',0,0~σσσNCCNtX=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡所以的一维概率密度函数为()tX()()222221σσπtxXetp−=（3）容易计算：()()[]0==tXEtmX()()()()()()()()()()()tststsBBtsABtsBAtsAAtstBtAsBsAtXsXtsCX−=+=+−−=−−==ωσσωωωωωωωωωωωωωωωωcossinsincoscos,covsinsin,covcossin,covsincos,covcoscossincos,sincoscov,cov,224．设是参数为的Wiener过程，求下列过程的均值和相关函数：(){0,≥ttW}2σ()0,1≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛=tttWtX()()0,2≥=ttWtX（2）（1）()()0,21≥=−ttcWctX()()()0,≥−=tttWtWtX（4）（3）()()[]()[]()ttDtWEtXEtWX22σμ====解（1）假设，有st≥()()()[]()()[]()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()[]()()()()()()[]()()()()()()[]()()()[]sWWsWEsWtWWsWEsWtWWsWEsWsWtWsWtWWsWEsWsWtWWsWEtWsWEtXsXEtsRX2222222222220020200,−+−−+−−=+−+−−=+−−===()}由于是Wiener过程，所以是独立增量过程，所以(){0,≥ttW()()()()()()[]()()()[]()()()[]()stssWtWEWsWEsWtWWsWE−=−−=−−22222200σσ()()()()()()[]()()()[]()()()[]00022=−−=−−sWtWEWsWEsWtWWsWE()()()()[]()[]sWEsWWsWE4220=−()()222tssWetfσ−=，所以根据性质1.3.6（第9页），有因为()[]()()244)(44301sfjsWEsWσ==所以，()()()24424242422233,sstssstsststsRXσσσσσσσ+=+−=+−=类似的，当时，有ts≥()2442,tsttsRXσσ+=()