中考圆专题讲练5圆与相似(一)——求线段的长度

ACBDPO专题讲练5圆与相似（一）——求线段的长度【例1】如图，已知AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC．AB交于D．E两点，过D点作DF⊥AC，垂足为F。（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明。（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，①求BD的长；②求AC的长。证：（1）证∠OBD＝∠ODB＝∠ACB，OD//AC，∠ODF＝90，∴DF与⊙O相切。（2）①3105BD；②8AC；证四边形ODFG为正方形，2210CDDFCF，证ΔCDF∽ΔBED，CDCFBEBD，∴310810,55BDBC。证ΔOBD∽ΔABC，,ODBDACBC∴8AC。【例2】已知:如图,在△ABC中,AB＝AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B．M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.(1)求证:AE与⊙O相切;(2)当BC＝4,cosC＝31时,求⊙O的半径.证：（1）连结OM，证OMBOBMEBM,OM∥BC.易证AEBC90AMOAEB（2）32，证ABCC,2BE，1cos3BEABCAB6AB设⊙O的半径为r，则6AOr。证AOM∽ABE。OMAOBEAB，626rr。解得32r。1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，D是AC的中点，⊙O经过A．B．D三点，CB的延长线交⊙O于E。（1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm。求⊙O的直径。证：(1)连ED，证ED垂直平分AC，∴AE=CE(2)证ED2＝AD·DF=2×4=8,ED=22，AE=2223ADDE2．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP·AD。（1）求证：AB=AC（2）如果∠ABC=600，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求线段AD的长。证：(1)ΔABP∽ΔADB，∠APB＝∠ABC＝∠ACB，ΔABC为等腰Δ。(2)ΔABC为等边Δ，∠APB＝60°，∠ABP＝∠CBP＝30°，∠BAP＝90，故BP为⊙O的直径，BP＝2，PA＝1，AB＝3，AD＝23ABAPEGFCABODMGEFOCBAEADBOFC3．如图，直线MN交⊙O于A．B两点，AC是直径。AD平分∠CAM，交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E点。（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径。证：（1）连OD．DC，证∠DAE＝∠OAD＝∠ODA，OD//AE；（2）152；易求2235ADDEAE，证ΔADE∽ΔACD，ADAEACAD，∴AC＝15，152R4．如图，已知⊙O的直径AB=4。过B点作⊙O的切线MN，D．C是⊙O上的两点，连接AD．BD．CD和BC。（1）求证：∠CBN=∠CDB；（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=150，求DC的长。证：（1）连AC，∠CDB＝∠CAB，∠CAB+∠CBA＝90，∠CBN+∠CBA＝90，CABCBN∴CBNCDB（2）作CK⊥AD于K，证45ADC＝∠CAB＝∠CBA，∠CAD＝60，22AC，sin6CKACCAD，证CK＝DK，22212CDCKDK,∴23CD5．如图，AB为⊙O的直径，PQ与⊙O相切于点T，过A点作AC⊥PQ于C点，交⊙O于D点。（1）求证：AT平分∠BAC（2）若AD=2，TC=3，求⊙O的半径。证：（1）连OT，OT//AC，∠OAT＝∠OTA＝∠TAC（2）连BD，BD//TC，OT⊥BD，BD＝2CT＝23，AB＝224BDAD，R＝26．如图，AB．BC．CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，连接OB．OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N点。（1）求证：MN是⊙O的切线。（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长。证：（1）证∠ABC+∠BCD＝180，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO∠CBO+∠BCO＝90＝∠BOM＝∠CMN（2）连OF，2210,BCOBOC,4.8BCOFOBOCOFR，证ΔCOB∽ΔCMN，MNCMOBOCENMABODCCOADBNMKBAPCTQDOMCONDEBFAG即4.88,9.668MNMN7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE=CF。（1）求证：DE是⊙O的切线。（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长。证：（1）连OC，,,CECFCEAECFAF∴,EACCAFOCAOC∥AE，∴90OCDE（2）190,3,32OCDOBBDBCOD，2233ACABBC，证ΔAEC∽ΔACB，AEACACAB,∴92AE8．如图，AB．AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F。点P为ED延长线上一点，连PC。（1）若PC与⊙O相切，判断△PCF的形状，并证明。（2）若D为弧AC的中点，且35BCAB，DH=8，求⊙O的半径。证：（1）连OC，∠OCA＝∠OAC，∠OCA+∠PCF＝90，∠PFC+∠OAC＝90，∠PCF＝∠PFC，PCPF（2）设3,5BCxABx，则4ACx，证2ACDH，则28,4DHxx，520,10ABxR9．如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，CD=BD。过D点作DE⊥AC，垂足为E点，延长DE交BA的延长线于P点。（1）求证：DE为⊙O的切线。（2）若AB=6，AD=6，求PE的长。证：（1）证OD//12AC，∠ODE＝∠DEC＝90（2）证ΔAED∽ΔADB，22,1,5AEADAEDEADAEADAB，ΔPEA∽ΔPDO，5,2PEAEPEPEDEOD10．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A．B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为ts。（1）求PQ的长。（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？证：（1）PQ＝8cm（2）12t或72t，分两种情况：①直线AB与⊙O第一次相切时，设切点为F，则PA＝5t,PB＝4t，GOBDEPACPNMABOQFABHEDCPOCBFODEA51048PAPOPBPQ，又∠P公共，∴ΔPAB∽ΔPOQ，90PBAPQO，易证四边形OFBQ为正方形，QB＝8－4t＝OQ＝6，12t②直线AB与⊙O第二次相切时，同理可得，QB＝4t-8=OQ=6，72t11．如图在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过D点作DE⊥DB交AB于点E。（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线。（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求EF的值。证：(1)证∠DBC=∠DBO=∠ODB,OD//BC,∴∠ODA＝∠C＝90°。(2)9；证∠EFB＝90°＝∠C，EF//AC，ΔBEF∽ΔBAC，124,93EFACBFBC易求AB=15，设EF＝4x，BF＝3x,则EB＝5x，OD＝52x证ΔOAD∽ΔBAC，551522,915xxODOABCAB，∴94x，EF＝4x＝912．如图，BC为⊙O的直径，点F在⊙O上，∠FCA=21∠FOC，CD=AD，AB交⊙O点E.（1）求证：CA为⊙O的切线；（2）若EF=1.5，CF=2，BE=4，求⊙O的半径.证：(1)略(2)连CE,∵△BCF∽△BCD,∴CFCDBCBD①证ABCEBFE，△BEF∽△BAD,∴EFADBEBD②又AD=CD,由①、②可得CFEFBCBE,∴BC=163,∴R=83.EDAOFBCOFEDCBA