必修5 新课标人教A版 第二章 2.3 2.3.2 等差数列前n项和的性质

2．3.2等差数列前n项和的性质【学习目标】1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．1．等差数列的最值在等差数列{an}中，若a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．2．等差数列的单调性d＝0当等差数列的公差_____时，数列为递增数列；当________时，数列为递减数列；当__________时，数列为常数列．n(7－n)练习：已知等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8，则{an}的前n项和Sn＝________，Sn的最大值为_______．d0d012【问题探究】已知数列{an}前n项和公式为Sn，首项为a1，则该数列的通项公式an与前n项和有什么样的关系式？答案：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2题型1等差数列的前n项和的性质及应用【例1】等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．30B．170C．210D．260思维突破：(1)把问题特殊化，即令m＝1来解．(2)利用等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d进行求解．(3)借助等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2及性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq求解．(4)根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥3)也成等差数列”解题．(5)根据Sn＝an2＋bn求解．(6)运用等差数列求和公式Sn＝na1＋nn－12d的变形式解题．解析：方法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70.∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110.S3＝a1＋a2＋a3＝210.方法二：由已知，得Sm＝ma1＋mm－12d＝30，S2m＝2ma1＋2m2m－12d＝100.解得a1＝10m＋20m2，d＝40m2.∴S3m＝3ma1＋3m3m－12d＝210.方法三：由已知，得ma1＋am＝60，①ma1＋a2m＝100，②3ma1＋a3m＝2S3m，③a3m－a2m＝a2m－am.④由③－②及②－①，结合④，得S3m＝210.方法四：根据上述性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)．∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.方法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝an2＋bn.∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100.解得a＝20m2，b＝10m.∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.方法六：由Sn＝na1＋nn－12d，即Snn＝a1＋(n－1)d2.答案：C由此可知：数列Snn也成等差数列，即Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列．由2S2m2m＝Smm＋S3m3m，Sm＝30，S2m＝100，得S3m＝210.【变式与拓展】1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()BA．63B．45C．36D．272．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()CA．12B．18C．24D．42题型2等差数列前n项和的最值问题【例2】在等差数列{an}中，若a1＝25，S17＝S9，则Sn的最大值为________．思维突破：利用前n项和公式和二次函数性质求解．解析：方法一：由S17＝S9，得25×17＋172(17－1)d＝25×9＋92(9－1)d.解得d＝－2.∴Sn＝25n＋n2(n－1)·(－2)＝－(n－13)2＋169.由二次函数性质，知：当n＝13时，Sn有最大值169.方法二：先求出d＝－2.∵a1＝250，由an＝25－2n－1≥0，an＋1＝25－2n≤0，得n≤1312，n≥1212.∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0.而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－20，a10，∴a130，a140.故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.方法四：由d＝－2，得Sn的图象如图D4(图象上一些孤立点)，图D4∴当n＝13时，Sn取得最大值169.答案：169由S17＝S9，知：图象的对称轴为n＝9＋172＝13.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式与拓展】3．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn＞0时，求n的最大值．解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0.解得－235＜d＜－236.又∵d∈Z，∴d＝－4.(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列．又∵a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn取得最大值为：S6＝6×23＋6×52×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋nn－12×(－4)＞0，整理，得n(25－2n)＞0.∴0＜n＜252.又∵n∈N*，∴n的最大值为12.题型3等差数列前n项和的实际应用【例3】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|;(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.思维突破：先求出数列的通项公式an.解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－12(n－1)＋(n－1)2＝－2n＋13；当n＝1时，a1＝S1＝11，符合an＝－2n＋13.∴an＝－2n＋13(n∈N*)．(1)当－2n＋13≥0时，n≤6.5.又∵n∈N*，∴n≤6.∴|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝27.(2)由(1)可知：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(a7＋…＋a10)＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10＝72－20＝52.(3)由(1)(2)可知：当n≤6时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝12n－n2；当n≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)＝S6－(Sn－S6)＝2S6－Sn＝72－(12n－n2)＝n2－12n＋72.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝12n－n2n≤6，n2－12n＋72n≥7.【变式与拓展】4．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解：(1)由题意知：S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8.∴5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7.∴S6＝－3，a1＝7.(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.【例4】已知一个等差数列{an}的通项公式an＝25－5n，求数列{|an|}的前n项和Sn.易错分析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0，得n≤5理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，和．事实上，本题要对n进行分类讨论．Sn＝20－5nn－52；(2)把“前n项和”认为“从n≥6起”的解：由an＝25－5n≥0，得n≤5.∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝Sn＝n45－5n2；当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝100－n45－5n2.[方法·规律·小结]求等差数列前n项和的最值问题有两种方法如下：(1)利用an：当an0，d0时，Sn有最大值可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当an0，d0时，Sn有最小值可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．最值时n(n∈N*)的值．(2)利用Sn：由Sn＝d2n2＋a1－d2n利用二次函数配方法求得