必修5-第一章解三角形-1.2 解三角形应用举例(2)

2010～2011学年度高二数学·必修5（人教A版）济宁育才中学高二数学组2/28面积计算形状判断等式证明3/284/285/28在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知a=14cm,c=24cm,B=150º；（2）已知B=60º,C=45º,b=4cm；（3）已知三边的长分别为a=3cm,b=4cm,c=6cm；（4）已知∠B＝30º，b＝6，c＝36．6/28例1已知圆内接四边形的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.【分析】连结BD，将四边形ABCD转化为三角形问题.【解析】如图，连结BD，设四边形ABCD的面积为S.7/28则S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsinA+BC·CDsinC.∵四边形ABCDA+C=180°∴sinA=sinC，cosA=-cosC∴S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA.8/28在△ABDBD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.在△BCDBD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=62+42+2×6×4cosA=52+48cosA.由BD2=BD220-16cosA=52+48cosAcosA=∴A=120°，∴S=16sin120°=.9/28【小结】要充分发挥图形的作用，构造三角形，创造应用解三角形的情景，进而运用有关的知识去解决问题，注意三角形外接圆的一些性质.10/28在钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinC=，(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求A、B、C的度数.11/2812/28例3．已知在△ABC中，sinA=CBCBcoscossinsin，判断它的形状．分析已知条件是角际关系，我们可以利用差化积（使出现B+C）以便利用内角和定理与A挂上钩．我们也可利用正、余弦定理，把已知条件化为边际关系，以便利用勾股定理逆定理或分解因式，出现a=b，a2=b2，a2+b2－c2=0等情况．13/28解法一．由已知，sinA=2cos2cos22cos2sin2CBCBCBcB=tan2CB=cot2A，即2tan12tan22AA=2tan1A，tan22A=11．又2A为锐角，故tan2A=1．∴2A=4，∴A=2．∴△ABC为直角三角形．14/28解法二．把已知式两边都乘以2R，由正弦定理和余弦定理，有a(acbca2222+abcba2222)=b+c，b(a2+c2－b2)+c(a2+b2－c2)=abc(b+c)，(b+c)[a2+bc－(b2+c2－bc)]=2bc(b+c)，又b+c≠0，∴a2－b2－c2+2bc=2bc，a2=b2+c2．∴△ABC为直角三角形．15/28例4在△ABC中，A、B、C所对边分别为a，b，c，且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，试判断△ABC的形状.【解析】a2[sin(A－B)－sin(A+B)]=－b2[sin(A+B)+sin(A－B)].和差角公式展开，得a2cosAsinB=b2sinAcosB，由正弦定理，上式化为sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.16/28∵sinAsinB≠0，∴sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B因为A、B为三角形的内角.所以A=B，或A+B=故△ABC为等腰三角形或直角三角形.17/28由条件(a2+b2)sin(A－B)=(a2－b2)sinC可得(a2+b2)(acosB－bcosA)=(a2－b2)c(a2+b2)=(a2－b2)c，(a2+b2)(a2－b2)=(a2－b2)c2,a2+b2=c2或a=b.故△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形.18/281．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC一定是（A．等腰三角形BCD．等腰直角三角形A【解析】acosB=bcosA2RsinAcosB=2RsinBcosAtanA=tanBA=B，∴为等腰三角形.故选A.19/282．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：2sinAcosB＝sin(A＋B)＋sin(A－B)，又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B．∴△ABC为等腰三角形．C20/283．设∠A、∠B是钝角△ABC的两个锐角，则下列四个不等式中错误的是（A．tanA·tanB1B．sinA+sinBC．cosA+cosB1D．tan(A+B)2tanD【解析】特值法，取A=B=30°，得D.21/28（用两种方法求解）的形状，判断中，若在.tantan.422ABCbaBAABC22/285．△ABC中，aab=ABBsinsinsin且cos2C+cosC=1－cos(A－B)．试判别其形状．解：由已知aab=ABBsinsinsin=abb．∴b2－a2=ab①又cosC+cos(A－B)=1－cos2C．即cos(A－B)－cos(A+B)=2sin2C．亦即2sinAsinB=2sin2C，2ab=2c2②由①、②，b2－a2=c2，∴该三角形为Rt△．23/281．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化.即化边为角或化角为边，边角统一.①等腰三角形：a=b或A=B；②直角三角形：b2+c2=a2或A=90°③钝角三角形：a2＞b2+c2，A＞90°④锐角三角形：若a为最大边，且满足a2＜b2+c2或A为最大角，且A＜90°.24/282．在△ABC①A+B+C=π②sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosAtan(B+C)=-tanA③④⑤25/2826/28在△ABC中，求证：)coscoscos(22sinsinsin1222222222CabBcaAbccbaCBAcba）（；）（问题：观察式子特点，讨论选用什么定理？利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.27/282．求证：△ABC中必有222cba=CBAsin)sin(．证：右边=CBABAsinsincoscossin=cAbBacoscos=cbcacbbacbcaa22222222=2222)(2cba=左边．28/28