二次根式及其性质.ppt

平方根和立方根情境与新知学校要举行美术作品比赛，晓鸥很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块画布的边长应取多少？2525画布的边长是5dm算一算、想一想练习1:计算:(1)42(2)0.92(3)(-5)2(4)(5)(6)02练习2:(1).()2=16(2)()2=0.81(3)()2=25(4)()2=(5)()2=0.2)32(2)32(94归纳概念如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.数学语言表示:若x2=a(a≥0),则x叫a(a≥0)的平方根.求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方运算。到目前为止，我们共学习了哪几种运算？尝试应用、提高表达能力∵±4的平方等于16,∴16的平方根是±4.另外的说法：±4是16的平方根。归纳平方根的性质求x并尝试表达：⑴x2=81;⑵x2=0.⑶x2=-4.⑷x2=0.36⑸x2=-49⑹x2=121.想一想：1、通过什么运算求一个正数的平方根？2、我们所学过的数都有平方根吗？有几个?平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身.负数没有平方根.小结今天获得的新知；获得的新方法；和以前学过的五种运算不同，开平方运算不是总可以进行；运算结果不唯一.温故知新1、什么叫平方根？数学语言呢？2、求下列各数的平方根：⑴81;⑵0.⑶-4.⑷0.36⑸49⑹121.解：因为92=81，（-9）2=81,所以81的平方根是9和-9，也可以说成81的平方根是±9。81=±9平方根的符号表示一般的，a(a≥0)的平方根记作:a正数的平方根有两个，互为相反数。二次根号被开方数，a≥0用符号表示下列各数的平方根：81，16，0.25，0，625121100,251,1691110,51,31说出下列符号的意义7,3,)5(,36123,)5(,36123,)5(,3612什么叫算术平方根？归纳总结及符号表示1、正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、规定：0的算术平方根是0。aaa正数a的算术平方根正数a的平方根正数a的负的平方根（算术平方根的相反数）动手实践例1：（1）求49的正的平方根；（2）求的负的平方根；（3）求169的算术平方根；（4）求121的平方根；（5）求(-5)2的平方根；（6）求m的平方根；94根据定义，你能得出的取值范围吗？a平方根和算术平方根有什么区别和联系？下列各数有平方根吗？如果有，写出它的平方根和算术平方根，如果没有说明理由。①625②③0④-9⑤(-2)2⑥-52⑦10-281综合应用判断下列结论是否正确①-4的平方是16.①25的平方根是±5②2是4的平方根.③4的平方根是2.④的算术平方根是16.196小结获得的知识；到目前为止，我们共学习了哪几个结果非负的数量？)0(.2aaaa类比探究、获得新知(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的平方根?(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么?(3)当a≥0时，下列各式的意义各是什么?aaa想一想（一）1、你能类比比平方根得到立方根定义吗？2、你能类比开平方的定义得到开立方的定义吗？3、你能类比平方根的表示方法得到立方根的表示法吗？想一想（二）：1、你能类比平方根的求法求一个数的立方根吗？2、你能类比平方根的性质说出立方根的性质吗？议一议：1、一个正数有两个平方根，那么一个正数有几个立方根？2、负数没有平方根，那么负数有立方根吗？强调：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性.即一个数的立方根是唯一的.先说式子的意义再计算32732732710236427类比平方根的定义得到立方根的定义；类比平方根的性质研究立方根的性质.类比,想到研究33()?a平方根----立方根（类比）类比开平方的定义得到开立方的定义；与开平方运算比较：任何数都能进行开立方运算，运算结果唯一.2()(0)aaa类比平方根的求法求一个数的立方根；整理旧知识我们都学过了哪些数？这些数可以怎样分类？整数和分数统称为有理数。结合数轴认识新数-7-6-5-4-3-2-176543201独立思考把两个薄厚相同，面积是1的正方形铁片融化，制成与原来薄厚相同的正方形铁片，现在这个铁片的边长是多少？1122合作、动手完成：把两个边长为1个单位长度的正方形纸片，剪一剪，拼一拼，得到一个面积为2的正方形。合作探究利用手上的刻度尺、计算器探究：（1）大概是多少？（2）你知道它的精确取值吗？2集体交流(1)利用计算器（2）1.4142135622=______________235试一试:你有什么发现？1.4142135621.999999999实际上：无限不循环小数联系对比、独立完成（1）使用计算器计算：把有理数写成小数的形式后，观察它们的小数部分有什么特点？31,71,53,6有限小数无限循环小数有理数（2）判断是不是有理数？如果不是，那它是什么样的数？2有理数应用概念判断：1、形如都是无理数，这个说法对吗？2、如果两个数相除，不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是个无理数；自己举出几个无理数。3,aa开方开不尽的数1.010010001…观察运动、数形结合（1）一个单位圆沿数轴从原点开始滚动一周，此时起点所对应的数为？（2）你能在数轴上找到表示的点吗？2小结、巩固练习1、无限小数都是无理数；2、无理数都是无限小数；3、带根号的数都是无理数；4、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；5、所有的实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有点都表示实数。自我小结你今天认识了哪些数？数轴在学习的过程中起了什么作用？客观世界中长度为正无数的线段本身不能被刻度尺度量，但只要借助于数轴和一些几何知识，就能够被直观的表示出来。有时候，数轴也被称为实数轴。可以用数学知识来证明不是有理数。26101/2X+2语言叙述：一般地，式子（a≥0)叫做二次根式a注意：（1）被开方数一定是非负数，即正数或零：（2）在实数范围内，负数没有平方根，所以式子（a0）无意义a求实下列各式有意义的x的取值范围例1（1）3x+25(2)X+5+1-5x解：（1）若有意义，则≥0，∵x≥-3/2，∴当x≥-3/2时，有意义3x+253x+253x+25（2）若有意义，则x+5≥0∴x≥-51-5x≥0x≤1/5∴-5≤x≤1/5∴当-5≤x≤1/5时，有意义X+5+1-5xX+5+1-5x算一算：02=；22=；（-2）2=；32=；（-3）2=。想一想：a2等于什么呢？a-a|a|02233当a≥0时，=；当a＜0时，=。2a=a(a≥0)-a(a＜0)aa面积a（1）化简（x)14(2)化简(4x-1)2a-b()2+(b-a)2解：∵a-b0∴ab∴b-a0∴=a-b+a-b=2a-2ba-b()2+(b-a)2例2：已知：x＜0，化简：16x2解：16x2=（4x）2练一练：x2-6x+9+x2+2x+1(-1x3)=|4x|解：原式=（x-3）2+（x+1）2=|x-3|+|x+1|∵-1x3,∴x-3＜0,x+10∴原式=(3-x)+(x+1)=4∵x0,∴4x＜0,∴原式=-4x已知|x-3|++z2-10z+25=0，求x2-xy+z2的值4-y解：∵|x-3|++z2-10z+25=0，∴|x+3|++(z-5)2=0，x-3=0，x=3∴4-y=0，∴y=4z-5=0，z=5当x=3，y=4，z=5时，原式=224-y4-y(1)计算（x0,y0)解：==6xy36x2y236x2y2(6xy)2正解：∵x0，y0∴xy0∴==|6xy|=-6xy36x2y2(6xy)2(2)计算解：=-3/4(-34)2正解：=|-3/4|=3/4(-34)22.二次根式的性质及它们的应用:（1）（2）2aaa0-a(a0)(a=0)(a0)2)0(,2aaa2一般地，式子（a≥0）叫做二次根式a1.二次根式：练习1、实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？x)1()13(2)2(x2)1()3(x13)4(x131)5(x11)6(x综合练习、探究性质•1.若＋＝0，求x，y的值。2xxy2•2、当x是怎样的实数时，式子＋在实数范围内有意义1xx1二次根式的双非负性做一做分别表示什么意义？、式子52.1什么？的平方分别等于几？为、52.2等于什么？）（的意义是什么？式子2)0(.3aaa二次根式的性质0).(12aaa语言表述：非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。aa2.2语言表述：一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。计算.例2235）①（222）②（ba75325)3(5)35(222解：22222baba解：计算.例329.1①22)1(x②9.19.19.12解：1112222xxx解：计算.例3)0,0(2522baba③)5(25102xxx④abababba55525222解：xxx5552解：原式1、下列等式是否成立？为什么？大家练一练吧！练一练772）（①3)3(3aaa）（②3.03.02③61312121312）（④√×√×2、计算练一练)5(52xx）（①)2(22xx）（②3.0)3(962ppp③X-2-p-3X-5逆用公式=a（a≧0）可以将一个非负数写成一个数的平方的形式，进而可以把多项式在实数范围内因式分解。2)(aa2-7b4-7x4-4x2+44y4-20y2+251baa练习：若+=0，求a、b的值。y练一练已知（x+2）2+=0，求x+y的值二次根式的乘除法求这个长方形的面积这个长方形的长是cm,宽是cm,求这个长方形的面积。1561569494663241968116164认真算一算：3241968116164公式的逆用一定成立吗？baab（a≥0,b≥0）练习：当x取何值时，此等式成立？25)2)(5(xxxx181282824209675483222322352627224343564因数分解要有目的性：分解出完全平方数化简：明确变形目的和依据325)1(m22817)2(mmmmmmmm55552222981781722xyxba11010)2(10253)1(计算并化简223)3(623623)2(2323)1(你能用简便方法计算吗？乘法公式中的字母a,b扩充到实数集后依然适用。先化简、再计算)0()2()1(3333bbaabam3294948116164认真算一算：811616432公式的逆用一定成立吗？baba（a≥0,b0）练习：当x取何值时，此等式成立？252)5(xxxx)0,0(3,111,21,,12222yxyxbbax挑出下面的最简二次根式A．a≠1B．a≥3且a≠1C．a＞1D．a≥3a,b同号，且b≠0a≥0,b≥0a＞0,b≥0D公式的逆用将乘法法则看成公式，公式一般可逆用。=baab)0,0(ba=baab)0,0(ba应用于两个二次根式求积。经常应用于二次根式化简。返回48.1mmmmm5525223⑵例2.化简下列二次根式3434482解：⑴1592581781781722⑶325.2m22817.3