定积分的元素法,平面图形的面积

1右脑思维的核心是形象思维，在大脑中多出现形象的东西，在各项思维活动中，多借助形象，就训练了右脑。2第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节平面图形的面积第四节平面曲线的弧长第五节功水压力和引力第六节平均值第三节体积3第一节定积分的元素法求由0,,ybxax)(xfy和所围成的曲边梯形的面积A须经过以下四个步骤：;)()(lim10baniiidxxfxfAniiixfA1)(（2）近似替代：（4）取极限：（3）求和：（1）分割:iiixfA)();(1iiixxniiAA1设第i个小曲边梯形的则：b,a分成n个小区间，把,Ai面积为ix1ixxoyab)(xfy4在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：（1）A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量；（2）A对于区间[a,b]具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于所有小曲边梯形面积的和。即：ix高阶的无穷小，;)(badxxfA精确值，它们只相差一比iixf)(近似代替部分量iA（3）以时，niiixf1)(的极限就是A的因此和式5（3）写出A的积分表达式，即：dxxfAba)(求A的积分表达式的步骤可简化如下：（1）确定积分变量x及积分区间[a，b]；的近似值。即：以dxxf)(Adxxx,（2）在[a,b]上任取小区间dxxf)(作为dxxfdA)(叫做面积元素,记为dxxfA)(dxxxxyO)(xfybaAdx6具体步骤是：dxxfdUU（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]；（2）写出积分元素badxxfU)(（3）写出U的积分表达式，即：一般地，如果某一实际问题中的所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量；（2）U对于区间[a，b]具有可加性；iU的近似值可表为（3）部分量可以用积分来表示。那么这个量就iixf7第二节平面图形的面积dxxxAba)()(dA2)(21一、直角坐标情形二、极坐标情形xodd)(rxyo)(x)(xdxxxba8一、直角坐标情形X型dxxxxyoxy2xy1badxxxAba12在b,a上任取小区间,dxx,x则dxxxdA12X型穿入穿出yy)(1yx)(2yxcdxyY型Y型dyyyAdc)()(12穿入穿出xxydyy在dc,上任取小区间,,dyyy则dyyydA129例１计算由22xy,xy所围成的图形的面积。和得抛物线的两个交点)0,0()1,1(解22xyxy解方程组xyo)1,1(11dxxx故所求面积为.3101332323xx102dxxxA，取x为积分变量，积分区间为,,10]1,0[在上任取小区间面积元素为.)(2dxxxdAdxxx,注：所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即.3110210dxxdxxA10例２计算抛物线xy22与直线4xy所围成的图形的面积。解（1），得交点4,8),2,2(422xyxy解方程组以y为积分变量，积分区间为[-2,4]，在[-2,4]上任取小区间[y,y+dy],面积元素为)4,8()2,2(xyo221yx4yxdyyydA2214186424232yyy422214dyyyA所求面积为：注：若将所求图形的面积看成两个曲边梯形的面积之差：则18642423422yyy42422214ydydyyAydyy11注：如果取x为积分变量不好！不好！不好！不好！不好！)4,8()2,2(xyodAdxxxA8012在8,0上任取小区间,dxx,x则dxxxdA12X型穿入穿出yy12补充例题：求曲线y=lnx,x=2及x轴，所围成的平面图形的面积。解：按照X型，Y型计算都可以。.12ln2lnln0ln212121xxdxxdxxA按X型：型有关的曲线写成)(xy按Y型：型有关的曲线写成)(yx.12ln2222ln02ln0yyeydyeA12x=2y=lnxxyO12x=2y=lnxxyO2ln13例3求椭圆12222byax所围成的图形的面积。xyo1AdxxxaydxAA0144则椭圆的面积为解：1A设椭圆在第一象限部分的面积为ydxdA1利用椭圆的参数方程tbytaxsincos则：应用定积分换元法，令,sin,sintdtadxtby.0,;20taxtx,costax022sin4tdtababtdtab202sin402)sin(sin4dttatbA。时，椭圆变为圆，当2aAba14问题:当曲线是以参数形式给出时，该如何计算平面图形的面积？tytxLtytxL222111::式给出：若曲线以参数方程的形dxxxxyoba1L2Lcdxyy+dyy1L2L11221122dtttdtttdxydxydxyyXbababa入出入出型：11221122dtttdtttdyxdyxdyxxYdcdcdc入出入出型：151．极坐标系OOOxOOx，过点引射线度单位及角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了叫做极点，射线叫做极轴。在平面内任取一定点，再规定一个长一个极坐标系。其中，定点OxPr),(rPOPrOxOP),(rP),(rP在极坐标系下，平面上任一点的位置就可以用线段的长度及从到的角度来确定。有序实数对就称为点的极坐标，记为。rO0叫做极径，叫做极角。极点的极径为，极角可取任何值。其中补充：极坐标16Ox),(r),(rP),2,(nr))12(,(nr)(Zn对于给定的极坐标，平面上有唯一的点与之对应；但，则都可以作为它的极坐标。对于平面上的点),(r之间，一般没有一一对应的关系。因此，平面上的点与有序实数对Ox),(rP),(rP20,0rO但若规定，除极点外，平面上的点与极坐标之间就一一对应了。0r，而极角可以取任意实数。在通常情况下,我们规定:),(rPr172．极坐标方程.arOa以极点为圆心，以为半径的的圆的极坐标方程:Ox)0,(a),(rPrcos2ar)0,(aa以点为圆心，以为半径的的圆的极坐标方程曲线上点的极坐标r与之间的关系可以用式rr表示，称rr为曲线的极坐标方程。过极点O，且与极轴的夹角为3的直线方程Ox)0,(a),(rPOx)3,(rP3.318.0arr00r.ar特别地，当时，等速螺线的极坐标方程为OlOMlvM从点出发的射线绕作等角速度转动，同时点在上作等速直线运动，点(两种运动的合成)运动的轨迹叫等速螺线(阿基米德螺线)。MO0r的起点离点的距离为，则等速螺线的极坐标若点方程为设点M经过时间t后运动到),,(rPx),(rPMO,,0tvrrt则所以,0vrr.va令注：附录Ⅱ中常用的曲线的极坐标方程。19y3．极坐标与直角坐标的关系OxPr),(ryx,xysincosryrxxyyxrtan222222ayx.arOa以极点为圆心，以为半径的的圆的极坐标方程:cos2ar)0,(aa以点为圆心，以为半径的的圆的极坐标方程cos2arcos22raraxyx22220二.极坐标情形求这个曲边扇形的面积:所以曲边扇形的面积为：dA2)(21设由曲线)(r及射线,围成一图形（称为曲边扇形）。221RA圆扇形面积公式为)(在,上连续，且假设0)(。ddxO)(rddA2)(21面积元素为：取极角为积分变量，。,,d,任取小区间积分区间为21dAdddA)()(21:)(21)(21:2222入出入出面积面积元素扇形）极点在图形外（曲边环2022)(21:)(21dAddA面积面积元素为：于是可以看出：点。着极轴把图形剪开到极想象沿极点在图形内部，可以ddxO)(入r)(出r)(rOd22dxOa2解：,,d,2,0dadA2)(21,积分变量为积分区间为在此区间上任取小区间面积元素为20222daA于是所求面积为:3220323432aa例4计算阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。23补充例题：计算cos3cos1rr与圆心形线所围成的图形阴影部分的面积。,A1解如图所示，这个图形关于极轴对称，所求图形的面积为A.面积为设极轴以上部分图形.3,233,23cos3cos1，得交点解方程组：rr232302)cos3(212)cos1(212ddA233202sin21292sin41sin223.451AxO233,23