直线的参数方程的几何意义

乐恩特文化传播有限公司乐恩特教育个性化教学辅导教案课题直线的参数方程的几何意义教学目标要求与直线的参数方程有关的典型例题教学重难点分析与直线的参数方程有关的典型例题教学过程知识要点概述过定点),(000yxM、倾斜角为的直线l的参数方程为sincos00tyytxx（t为参数），其中t表示直线l上以定点0M为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段MM0的数量，的几何意义是直线上点到M的距离.此时,若t0,则的方向向上;若t0,则的方向向下;若t=0,则点与点M重合.由此，易得参数t具有如下的性质：若直线l上两点A、B所对应的参数分别为BAtt,，则性质一：A、B两点之间的距离为||||BAttAB，特别地，A、B两点到0M的距离分别为.|||,|BAtt性质二：A、B两点的中点所对应的参数为2BAtt，若0M是线段AB的中点，则0BAtt，反之亦然。精编例题讲练一、求直线上点的坐标乐恩特文化传播有限公司例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程x=x0+at，y=y0+bt(t是参数)。解：由题意知则直线PQ的方程是x=1−3t，y=2+4t，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。解：由条件，设直线AA'的参数方程为x=−1−213t，y=−2+313t(t是参数)，∵A到直线l的距离d=513，∴t=AA'=1013，代入直线的参数方程得A'(−3313，413)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线和直线的交点到点的距离;2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.解:直线的参数方程为(t为参数)1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以=乐恩特文化传播有限公司点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。三求直线与曲线相交的弦长例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.解因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为(为参数)代入整理得由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。∴===.例2已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)即(t为参数)乐恩特文化传播有限公司把它代入抛物线的方程,得解得由参数t的几何意义得点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:cos,所以,直线的参数方程为(t为参数)代入,整理得中点M的相应的参数是=所以点M的坐标为点评:在直线的参数方程中,当t0,则的方向向上;当t0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.例2．已知双曲线x2−y22=1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2乐恩特文化传播有限公司的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得tanθ=2x0y0。又直线P1P2的斜率k=tanθ=y−y0x−x0，点P（2，1）在直线P1P2上，∴1−y02−x0=2x0y0，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题例1．已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0，由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。又直线P1P2的斜率，点P（2，1）在直线P1P2上，∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离例1．直线l过点P(1，2)，其参数方程为x=1−t，y=2+t(t是参数)，直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式x=1−22t'，y=2+22t'，代入2x+y−2=0得t'=322，∴PQ=|t'|=322。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。乐恩特文化传播有限公司例2．经过点P(−1，2)，倾斜角为4的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值。解：直线l的方程可写成x=−1+22t，y=2+22t，代入圆的方程整理得：t2+2t−4=0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=−2，t1·t2=−4，由t1与t2的符号相反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1·t2=32，PA·PB=|t1·t2|=4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长例1．已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：AB=2psin2θ。分析：弦长AB=|t1−t2|。解：由条件可设AB的方程为x=p2+tcosθ，y=tsinθ(t是参数)，代入抛物线方程，得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：t1+t2=2pcosθsin2θ，t1·t2=−p2sin2θ，∴AB=|t1−t2|=(t1−t2)2−4t1·t2=4p2cos2θsin4θ+4p2sin2θ=2psin2θ。例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或|t1|=2|t2|。解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为x=−c+12t，y=32t，代入椭圆整理可得：(14b2+34a2)t2−b2ct−b4=0，由于t1=−2t2，则乐恩特文化传播有限公司t1+t2=b2c14b2+34a2=−t2①，t1·t2=−−b414b2+34a2=−2t22②，①2×2+②得：2c2=14b2+34a2，将b2=a2−c2代入，8c2=3a2+a2−c2，得e2=c2a2=49，故e=23。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。知识巩固训练应用一：求距离例1、直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，且与圆722yx相交于A、B两点。（1）求弦长AB.（2）求AP0和BP0的长。应用二：求点的坐标例2、直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，求出直线l上与点)4,2(0P相距为4的点的坐标。乐恩特文化传播有限公司应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点)0,1(0P，倾斜角为4的直线l和抛物线xy22相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。教师课后小结签字教学主任：教学组长：学生/家长：解：因为直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin06cos4tytx，即tytx21234，（t为参数），代入圆方程，得7)21()234(22tt，整理得09342tt（1）设A、B所对应的参数分别为21,tt，所以3421tt，921tt，所以||||21ttAB.324)(21221tttt（2）解方程09342tt得，3,3321tt，所以AP033||1t，BP0.3||2t乐恩特文化传播有限公司解：因为直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin46cos2tytx，即tytx214232，（t为参数），（1）设直线l上与已知点)4,2(0P相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则||0MP4||t，所以4t，将t的值代入（1）式，当t＝4时，M点的坐标为)6,322(；当t＝－4时，M点的坐标为)2,322(，综上，所求M点的坐标为)6,322(或)2,322(.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。解：直线l过点)0,1(0P，倾斜角为4，所以直线l的参数方程为tytx22221，（t为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程xy22中，得：)221(2)22(2tt，整理得022212tt，06)2(214)2(2，设这个二次方程的两个根为21,tt，由韦达定理得2221tt，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得2221tttM，易知中点M所对应的参数为2Mt，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线l的参数方程，A、B两点对应的参数为21,tt，则它们的中点所对应的参数为.221tt