【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-7-2(选修4-4)

第一部分高考专题串串讲第一版块专题知识突破专题七选考内容考情分析真题体验第二讲坐标系与参数方程(选修4－4)知识方法考点串联高频考点聚焦突破多维探究师生共研考情分析·真题体验明确备考方向实战高考真题考情剖析1.高考对极坐标内容的考查主要是求简单的极坐标方程，或极坐标方程与直角坐标方程的互化，或利用极坐标方程求解交点坐标、求弦长．2．高考对参数方程的考查主要是把参数方程化为普通方程，利用直线和圆的参数方程判断直线与圆的位置关系或解决一些最值、两线段长度的和或积问题，试题的难度一般为中等.真题感悟1.(2014·北京卷)曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析由已知得cosθ＝x＋1，sinθ＝y－2，消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y＝－2x上，故选B.答案B2．(2014·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22解析由题意得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝2，故弦长＝2r2－d2＝22.答案D3．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：x＝2＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．解析由题意得曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.又|AB|＝2，故直线l过曲线C的圆心(2,1)，则直线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0，故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.答案ρ(cosθ－sinθ)＝14．(2014·重庆卷)已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.解析直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，由y＝x＋1，y2＝4x，解得x＝1，y＝2.所以公共点为(1,2)．所以公共点的极径为ρ＝22＋12＝5.答案55．(2014·天津卷)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________．解析由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y.所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，其圆心为C(0,2)，半径r＝2；由ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a，由于△AOB是等边三角形，所以圆心C是等边三角形OAB的中心，若设AB的中点为D(如图)．则CD＝CB·sin30°＝2×12＝1，即a－2＝1，所以a＝3.答案3知识方法·考点串联连点串线成面构建知识体系1．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过点Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.2．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.3．常见曲线的参数方程(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)．(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)．(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．(4)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．(5)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数).高频考点·聚焦突破热点题型剖析构建方法体系考点一极坐标方程及其应用【例1】在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为2，π3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)P是圆C上一动点，点Q满足3OP→＝OQ→，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．课堂笔记(1)设M(ρ，θ)是圆C上任一点，过点C作CH⊥OM于H点，则在Rt△COH中，OH＝OC·cos∠COH.∵∠COH＝∠COM＝θ－π3，OH＝12OM＝12ρ，OC＝2，∴12ρ＝2cosθ－π3，即ρ＝4cosθ－π3为所求的圆C的极坐标方程．(2)设点Q的极坐标为(ρ，θ)，∵3OP→＝OQ→，∴P的极坐标为13ρ，θ，代入圆C的极坐标方程得13ρ＝4cosθ－π3，即ρ＝6cosθ＋63sinθ，∴ρ2＝6ρcosθ＋63ρsinθ，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2＋y2＝6x＋63y，∴点Q的轨迹的直角坐标方程为x2＋y2－6x－63y＝0.[方法规律]若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标.对点训练1.(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4解析由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，y＝1－x可得ρsinθ＝1－ρcosθ，即ρ＝1cosθ＋sinθ，再结合线段y＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈0，π2.因此线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2.答案A2．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，故与x轴垂直的两条切线方程为x＝0和x＝2，化为极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.答案B3．在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解在ρsinθ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P2，π4，所以圆C的半径PC＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.考点二参数方程及其应用【例2】(2014·课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t，(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．课堂笔记(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.[方法规律](1)在解答参数方程的有关问题时，常用的方法有两种：①将参数方程化为普通方程，再利用相关知识解决，注意消参后x，y的取值范围．②观察参数方程，有什么几何意义，利用参数的几何意义解题．(2)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(3)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.对点训练4.已知直线l：x＝1＋t，y＝3－2t(t为参数，且t∈R)与曲线C：x＝cosα，y＝2＋cos2α(α是参数，且α∈[0,2π))，则直线l与曲线C的交点坐标为________．解析直线l：x＝1＋t，y＝3－2t(t为参数，且t∈R)化为普通方程为y＝－2x＋5，曲线C：x＝cosα，y＝2＋cos2α(α是参数，且α∈[0,2π))化为普通方程为y＝2x2＋1(1≤y≤3)，由y＝－2x＋5，y＝2x2＋1，可得x＝1，y＝3，∴直线l与曲线C的交点坐标为(1,3)．答案(1,3)5．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．解将直线l的参数方程x＝1－22t，y＝2＋22t代入抛物线方程y2＝4x，得2＋22t2＝41－22t.解得t1＝0，t2＝－82.所以AB＝|t1－t2|＝82.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．课堂笔记(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1，由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝costy＝2sint(t为参数)．(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0解得x＝1，y＝0，或x＝0，y＝2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.[方法规律]对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化成直角坐标方程再求解.对点训练6.(2014·课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，