等腰梯形的性质及证明

１等腰梯形的性质及证明课题等腰梯形的性质及证明教材简介等腰梯形与直角梯形是并列的梯形，梯形与平行四边形又是并列的四边形。等腰梯形的性质是梯形问题的重点，深刻的理解等腰梯形的性质，有助于知识的内化，有助于形成知识系统，有助于发展学生的数学思维。教学目标1.使学生掌握等腰梯形的性质定理及证明。2.使学生理解适当的添加辅助线是解决问题的关键。3.使学生理解几何问题中转化的数学思想。教学重点：等腰梯形的性质。教学难点：1．等腰梯形的性质。2.添加辅助线进行问题的转化。教学关键：准确（适当）地添加辅助线。教学方法：启发引导探索发现教学用具：教学多媒体教学内容设计意图教学过程一、创设问题情境，鼓励学生讨论:1．什么是等腰三角形？有什么性质？2．什么是等腰梯形？3．等腰梯形与等腰三角形比较，等腰梯形有什么性质？（猜想）（板书课题：等腰梯形的性质定理及证明）二、问题类比，提出猜想：将学生分组，讨论上述第三个问题。很快得出一个猜想（命题）：命题：等腰梯形在同一底上的两个角相等。（学生对命题的叙述不一定准确，教师引导学生得出叙述准确的命题，并提出应对命题的正确性加以证明。）三、分析探索、寻求证明：已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC求证：∠B=∠C启发与思考：问题一：证明两角相等通常采用什么办法？创设问题情境，鼓励学生讨论中的三个问题由教学多媒体集成。1.是起到创设问题情景的作用。2.是为了引入新课。分组讨论，进行问题类比是为学生创造合作的学习环境，提供探索问题的方法。并使学生在类比中产生直觉思维（建立猜想）。２教学过程（可能的答案：1.证明所在的两三角形全等。2.证明是等腰三角形。3．证角平分线，等等。）依据学生的回答，让学生观察图形，发现可能采用的证法与所给的已知条件相距甚远。因此，引出新的问题：问题二：对于研究新问题（未知的、复杂的问题），通常采用什么数学思想解决？(回答是肯定的：“转化”的思想。也就是将未知的转化为已知的，将复杂的图形转化为熟悉的基本图形进行研究。)问题三：怎样转化？(添加辅助线。)问题四：怎样添加辅助线？可以将问题转化为大家熟悉的图形，并利用已知图形的性质及已知条件进行证明和研究。这个问题是教学中的难点和关键，为突破这个教学难点，教学中必须注意引导学生联系问题一中所提到的方案，即添加辅助线后能将梯形问题转化为问题一中所涉及的已知（熟悉的）图形，或者是转化后能将分散的、没有联系的条件聚拢到一起，建立直接联系。并利用已知图形的性质及已知条件进行证明。教学中将学生分组讨论，并证明。可能的添法：(一)、过梯形的顶点作腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形。如图所示:ADADCBECBECADEEADBCBC(二)、过上底的端点作下底的垂线或过下底的端点作上底延长线的垂线。如图所示：ADEADFBEFCBC在实际教学中，估计学生可以很容易的填出（一）中的前两种、(二)中的第一种，其它情况可由教师引导填出。教学中一定要注意添加辅助线是关键，要注意学生的思维过程，引导学生克服思维障碍。引出辅助线后，证明比较简单，可由小组推荐代表到黑板板演，比一比那个组的证法最规范。下面的证明是针对第一种情况第一个图的证明，其它情况的证明略。启发与思考中设计了五个问题，旨在引导学生应用正确的方法证明猜想；并引导学生在对问题探索过程中发现规律、总结规律；第三是引导学生在探索过程中养成良好的思维习惯和思维方法；第四是使学生的直觉思维（猜想、感性的）上升为形象思维(正确、理性的)。其中问题一是引导学生运用分析法（执果索因）探索证明方法，并使学生领会这一常用的数学方法。问题二是使学生重温“转化”这一重要的数学思想；使学生的探索在正确的思想指导下进行；并且可以自然的引出下面的问题。问题三是引导学生发现解决“转化”的途径和方法。问题四是一个开放性的问题，同时是教学中的难点和关键，所以提出这个问题是必然的。第二是通过对这个开放性的问题的探索，可以很好的培养学生的发散思维，可以很好的培养学生的数学能力。第三可以使学生在探索中发现研究梯３教学过程证明：如图，过点D作DE∥AB,交BC于点E。∴∠B=∠DEC∵AD∥BC∴AB=DE又∵AB=DC∴DE=DC∴∠DEC=∠C∴∠B=∠C问题五：上述证明中的辅助线是如何将问题转化的？(教师引导学生总结。)第一种添加辅助线的方法：1．可理解为将梯形转化为平行四边形和等腰三角形来研究。2．可理解为将梯形的一腰平移，使这个腰与另一个腰产生直接联系（构成等腰三角形）。这两种方法均可用问题一中的2进行证明。第二种添加辅助线的方法：可理解为构造两个三角形，并证明这两个三角形全等，从而使问题得证。四、巩固练习，促进知识正迁移：已知：如图，梯形ABCD,ADAD∥BC,∠B=∠C求证：AB=CDBC启发与思考：1．是不是可以类比性质定理的方法进行证明？2．都有什么方法？（重点突出如何添加辅助线）学生很容易将性质定理证明的方法迁移到此题，会得出许多证法。除此以外，可以引导学生如下图的方法添加辅助线进行证明。E证明可由学生完成。AD证明略BC五、总结规律，促使知识内化：a)注意“转化”的数学思想，并能够应用它。b)注意研究梯形问题中常见的添加辅助线的一般规律。（问题四及练习中的方法。）c)注意学会分析问题、解决问题的一般性方法。六、作业：a)阅读教材。总结在梯形问题中常用的转化方法。（即怎样添加辅助线，为什么这样添加？）形问题常用的添加辅助线的规律，并使学生形成研究梯形问题的基本技能。问题五是使学生理解添加辅助线的实质，并引导学生总结在一般情况下添加辅助线的规律，促使知识内化，从而使学生在探索中获得的认识上升为理性认识。第二是使发散的思维转向聚拢。巩固练习的实质是等腰梯形的判定定理的证明。因为其证明与性质定理的证明类似，引用它可以促使知识的正迁移，使知识与技能及时得到巩固和深化。其次是为下节判定定理的教学打下伏笔。总结的目的是为了突出规律，使学生掌握解决问题的一般性的方法。作业的目的与总结的目的相同。４设计说明：1．本课案设计教学时间为一课时。2．本节课案的教学设计立足于“探究发现式”教学模式。3．本课案力求突出三条线：问题线、探究线和思维线。以问题激发学生的求知欲望，使学生建立猜想（直觉），并带领学生一步步深入探究，以问题引导学生的思维发散和聚拢，并使学生在探索过程中获取的认识上升为理性认识。也就是使学生掌握研究梯形问题的一般规律和方法，也就是使学生掌握运用分析法、运用转化的思想解决梯形问题，从而使学生掌握梯形问题中添加辅助线的一般规律和方法。4．本课案设计的实质是想培养学生良好的思维习惯，即培养学生思维的深刻性、灵活性及批判性；培养学生分析问题、解决问题的数学能力；培养学生勇于探索的精神，提高学生的探究能力，也就是使学生具有一定的创新精神和实践能力。5．本课案的另一个想法是使学生学会合作学习，使学习成绩在合作中提高，使学生在合作中获得成功，使学生在合作中体会成就感。板书设计：§4.8等腰梯形的性质定理及证明一、设问题情境:二、问题类比，提出猜想：三、分析探索、寻求证明：四、巩固练习，促进知识正迁移：五、总结规律：六、作业：教学后记：