细长圆柱体上非线性波浪高阶力计算-----海洋工程动力学

作用在细长圆柱体上的非线性波浪载荷O.M.faltinsenJ.N.newmanT.vinje摘要•在波幅与圆柱半径同阶且都相对与波长为小量，波浪与垂向圆柱体碰撞发生衍射，小波陡导致外域内传统波浪理论依然适用而，而在一个与圆柱体半径a相关的内域力出现了显著非线性扰动问题——条件•在内域中首阶非线性项对速度势的影响与A²a和A³正相关，而在自由表面上二阶三阶谐波力分别于A²a²和A³a正相关。传统扰动分析中与A的不同次幂相关的二三阶成分同阶——结论引入符号概念•O（）表示同阶无穷小•O（1）表示与常量同阶及常数阶•O（x^n）表示与x^n同阶•确定的坐标系有(x,y,z)平均水面上坐标系•（r，θ，z）平均水面上的柱面坐标系•（R，θ，Z）在一阶波面方程上建立的柱面坐标系•内域（与圆柱体交互作用较大）外域（相反）本文的结构•1.简介•2.线性解回顾•3.非线性速度势边界条件的导出•4.非线性解问题的求解•5.由于非线性项导致波浪载荷和积分力定义•6.非线性波浪载荷计算（线性速度势引起的点力）•7.非线性积分载荷计算（非线性速度势引起点力）•8.结合实际应用的总结简介•当年来逐渐被人们认识到在大型海洋平台上会发生比入射波频率更高的固有频率扰动问题。此现象不能被传统的波浪衍射理论所解释，被称为ringing高频谐振•Jefferys和Rainey在比例模型实验中观测并记录下来的现象时间记录入射波历史波幅频率，和结构特征频率下的测量张力——ringing高阶谐振共振显著发生简介•1.传统扰动分析1.传统频域分析，波参数A，w，K，λ引入无量纲波参数KA为小值。2.压力场解至KA的一阶波浪相应，时间为谐波特性与波浪频率相同3.超过一阶响应，二阶波浪力与（KA）^2正相关。规则波包含拖曳力时间常数，动态二阶谐波力（源于线性解的二次项)4.等效平均液面浸没下的圆柱表面二阶压力和变化自由液面上的一阶压力有关，后者可等效为一个作用在自由液面上的点力。简介5.传统扰动分析基于假设A小于其他参数（λ，w，结构特征尺寸L，水深h），通常假设波长与结构尺寸同量纲（KL=O（1）），而对于衍射系统进一步假设KL1，从而有一般的结论（作用在水平固定体上的波浪力正比于波浪速度场中的同点加速度）如morison公式中的惯性项——水平加速度替代简介•2.传统方法的应用局限▫多数平台为垂向圆柱体，进而导致半径后来取代特征长度用于扰动分析，而通常半径a=10m，恶劣海况下A=10m，λ=200~300m导致扰动分析假设变化——A/a=O(1)为新的前提条件•3.研究问题的基本条件▫KA1,Ka1,A/a=O(1)，圆柱体纵向无限延长，势流假定粘性忽略，设ɛ1小量，其他参数都为常量纲除Aa▫线性高阶，非线性载荷来源两部非线性解的高阶部分和由于速度势变化的自由表面的非线性部分。高阶解比非线性解简单，且内域波边界速度梯度占主要——在波面下稳定流呈线性，内域高阶解代替非线性解可行简介▫非线性波动部分，自由液面的波动性导致不能转化范围静止平面，转化为——随波上下变动点载荷，波浪载荷（总用在波面与圆柱交界上）包含的组分与其成正比因此在二阶衍射分析线性高阶分布载荷和非线性波动点载荷简介•4.整体问题分析▫各种载荷与A的不同幂相关,用匹配渐进展开法证明。▫将计算域分为内外域，外域尺寸λ相关，内域a，外域速度势K,内域速度势与1/Ka相关•5.本法计算散射中各参数量纲分析▫与入射波法相速度ωA相关，用散射势大小相同方向相反的倒数抵消。▫内域梯度与1/a正相关，ɸs=O（ωAa）A/a=O(1)ɸt=O（1/2V^2）简介•6.比较前人结果雷利与其他人也采用相关假设，然而是用能量法，没有考虑圆柱影响，在A与A²上一致在A³上偏大•7.与实验的对比破波导致的拖曳力现观实验证明A/a=O（1）时会有旋涡扩散，但是只有A远大于a时才会有明显拖曳力，拖曳力不用考虑。二、线性分析•线性分析坐标系如下二、线性分析•直角坐标系下入射波速度势•坐标系转化Jm为贝塞尔函数•圆柱体边界为零法向速度故散射势•设一小量可知进而假设为一阶，A,a为阶•进而有外域内域二、线性分析•外域特点简化近似为•内域特点简化近似结果•总内域速度势•划线部分与水平坐标无关不影响水平速度场只与压力和波浪升高有关且为ɛ的同阶？？？二、线性分析•一阶展开，结果中不能展现出圆柱的边界条件，同时也没有表现出自由页面的影响，包含高阶小量O（ɛ^2)中表示的圆柱表面，故继续高阶展开•高阶展开结果如下•展开结果包含了，，但是非线性参数忽略在此解中，后续讨论二、线性分析三、非线性边界值问题•为包含非线性项，，入射波势流细化到包含非线性参数，若修改色散关系为•修改后在后来的结果中影响不大（Newman1977）•总的速度势添加上修改项（3.1）•为非线性影响项满足如下条件•第一位柱面条件第二为自由液面边界条件满足边界条件坐标定义，边界条件精确的•线性解2.7为1精确解，并满足任意值下2的齐次性三、非线性边界值问题•条件3.3，右侧分析，由于只计算一阶势的贡献，二阶量纲首相，有如下关系可用•应用关系得到第一项为•第二项为三、非线性边界值问题•r趋近极大，外域3.4，3.5的影响将变成高阶，故，此条件只适用于内部•因而采用对此问题适用于内部单位化坐标•变化后结果如下左侧一定在自由液面上计算，而右侧已经设为Z=0，原边界条件三阶无穷小所含三、非线性边界值问题•由三维拉普拉斯方程导出速度势得到当有•在内部坐标系下个方向的梯度是Ψ的同阶无穷小•左侧前四项时间二阶导相关比其他项小一个量纲O（ɛ）而被忽略3.8变为三、非线性边界值问题•由于3.10右侧两项都是O（ɛ^3）由3.9得到整体速度势的阶数•针对线性解速度势与非线性解速度势的异同分析▫相同点：水平梯度都为1/ɛ阶；垂向导数不同阶相关参数内域边界三方向梯度圆柱表面法向速度ɸdKa和1/K不同阶散射势抵消0速度Ψa因自然递减可视为无同阶无速度三、非线性边界值问题•自由表面用如下方程定义3.11•展开为级数形式•结果如3.12，3.13前两项级数可有线性速度势解出•非线性速度势影响为三阶ɛ^3故足够三、非线性边界值问题•针对自由边界条件3.10考虑如何将变化的自由表面转化为确定性边界，通常方法为泰勒级数展开在z=0平面。然而，速度势的以坐标z表示纵向导数在内域中通过一个系数1/a放大，而A与a之比为常量，导致自由液面不能转化。却可以转化为以Z=0（一阶近似解的波面方程），加之残差为二阶小量。因此在3.12中的一阶自由页面展开结果将是以ɛ为逼近参数的级数形式？？，，，，，其第一项为一阶展开的自由页面，第二项为，，，是小于速度势一阶ɛ的小量。•综上，可近似满足3.10在内部坐标Z=0得到纵向扰动，水平向稳定非线性速度势，其上形成点力，其下形成积分力三、非线性边界值问题•得到最终解的形式•时间相关参数•无量纲服从边界条件Z=0四、非线性势的求解•？，通过3.15定义服从3.7齐次条件的，通过韦伯变换简化3.15引用，对R1•通过分散变量构造解的形式如下•Wronskian简化4.3得•由于fm（R)包含了R的负幂次项，4.2的积分形式如下•S表示龙梅尔函数未说明时隐含参数k•针对m=1，2，因其为5节中的评估载荷，其他同理可解。使用边界条件3.15•v四、非线性势的求解•由于4.8简单简化如下•由(Watson1952)得到4.7详细分析的结果S同上•两个互补的表达式用来求s和它的导数•Ψ为伽马函数指数导数近似的展开式为4.12四、非线性势的求解•从4.12接近相应4.10表达式的结果如下•4.13的应用可以通过1970引文提出的QD算法扩展转化为连分式。•此过程方法可用于计算k大于14.5且在m=7之后截断的求解F1。在k14.5的互补域采用双精度近似4.11及其导数。•这组解法可以实现结点14.5处小数后五位精度，远离点精度更高四、非线性势的求解•一个可替代的算法如下，可计算4.10，4.14积分求解见文献•求解结果如图，使用适应Romberg法六位小数精度的数值求解4.5四、非线性势的求解•在0到无穷积分这些函数不仅是为导出积分力同时对确认结果的数值精度很重要。•为此，采用格林第二恒等式格林恒等式来应用到，，和辅助势在流域内；在用了边界条件3.7和3.15来积分圆柱边界和自由表面，结果如下五、圆柱体上的波浪载荷•总的x+方向上液压积分力如下，应用伯努利方程计算压力（此处有伯努利方程计算出的分布压力）•定义波浪载荷•这给出了作用在圆柱体上分布载荷准确形式，同时简化了计算力矩和结构激励。•在实际应用中局部波浪载荷也可以用来计算有限吃水下圆柱的波浪载荷，只需附加一些假设，甚至类比到无限水深五、圆柱体上的波浪载荷•注意5.1中的积分计算上限为z=ξ,在z=0或Z=0分部积分会更容易•对线性速度势两个分断点同样有效而非线性部分后者更有效，因与A同量纲变化•一阶速度势导致的非线性的影响在6节•用固定坐标z和分割点0。自由表面的局部载荷定义如5.1在0到ξ之间。自由页面附近的局部载荷分析导致高阶力将以点力的形式表现。总的载荷将包含点力和自由液面之下的分布力。•来自非线性项，Ψ，的高阶速度势见7•用Z，以及分离点Z=0。波浪载荷会与，A^3a，正相关。相关的积分力因只在与a正相关的局部区域深度内载荷显著，故结果很小。五、圆柱体上的波浪载荷•波浪载荷与分布力都是以A为量纲较方便•因此以A，A²，A³为一二三解载荷或力。然而其他小量也要考虑ɛ，a•因而又有二阶三阶波浪载荷分别与，，，正相关二阶三阶分布力载荷，，，，正相关，高阶略去。六、一阶速度势的非线性载荷•应用分段积分静水压力积分相略去•先看5.2定义波浪载荷，2.6中导出一阶成分如下•此为默尔森惯性力相，加速度虚拟质量，二阶如下六、一阶速度势的非线性载荷•考虑非线性项对积分6.1中的第二积分式的影响。•由于波高ξ对立与坐标θ可由6.2，6.3直接算出，结果如•相加得到下六、一阶速度势的非线性载荷•最后考虑5.1中的最后一项一阶波与真波间小量，真波表面z=ξ,p=0压力，压力分布式•因而总体的积分力为如下形式•此处ξ2定义在3.13因此在r=a时六、一阶速度势的非线性载荷•计算积分6.8得到•总计算结果•与6.6计算结果相加六、一阶速度势的非线性载荷•总的积分力为包含6.2,6.3在平均水面以下的积分力和在水面以上的点力积分之和•上标为只与一阶速度势相关，6.12，6.13三阶力见文献•变化坐标Z加深理解，6.2，6.3变形，泰勒级数展开变形得到同样结果六、一阶速度势的非线性载荷七、由于非线性速度势导致的压力•非线性速度势（定义3.1，计算第四节）导致压力•进而得到导致5.2相应载荷•7.2液面上载荷类比6.8点载荷六阶小量忽略•7.2载荷展开如下积分展开的首届相加得到如下结果七、由于非线性速度势导致的压力•上两方程积分离散取到一阶相加得三阶载荷•从上可知三阶载荷依赖1，2阶势，4节计算出，如图3，最大在Z=0单调递减•7.5得出的分布力用4.17，4.18求积分得到如上七、由于非线性速度势导致的压力•此力仅在局部有效，类似6.12点力为附加力与一阶速度势有关，总的点力形式如下•有趣的是7.7中总积分力的三阶谐波部分来源于一阶速度势，ɸd，高阶速度势和非线性，同样重要八、总结——基本内容•图四展示了三阶力在完整的一阶运动周期内的变化，一阶速度势引起的幅值归一化。由于非线性速度势导致的极值约为1.54。全部三阶力约为2.52.•三阶力•6.12为线性高阶解在平均液面z=0到ξ积分得到点力•7.6为一阶波面到自由表面积分点力•7.7为自由波面到平均波面总的积分点力（包括线性和非线性速度势）•=7.6+6.12八、总结——得到的结论•图5绘制7.7针对不同KA值，在二阶幅值标准化下的结果。可看出非线性点载荷对KA的变化。八、总结•2.三阶成分与KA正比•3.二阶三阶成分在来波前半周期加强后半周期减弱。导致总点力扰动在前半质点圆周运动wt=9