平面向量及其加减运算(提高)知识讲解

平面向量及其加减运算（提高）知识讲解【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3.理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.要点诠释：（1）“有向线段AB”符号标记为AB，且AB表示点B相对于点A的位置差别.（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.2.平面向量的定义及表示（1）向量:既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.要点诠释：①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.③向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量的表示方法:①小写英文字母表示法:如,,,abc等.②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如,ABCD等.（3）向量的分类：固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3.特殊的向量零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.互为相反向量:长度相等且方向相反的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).规定:0与任一向量共线.要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.要点二、平面向量的加法运算1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2.运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：ABBCAC（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果a、b是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a、b相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a、b和的向量.如图：ABADAC要点诠释：1.两个向量的和是一个向量，规定00aaa.2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4.||||||||||ababab.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.3.运算律：ＡＢＣＡＢＣＤ（1）交换律：abba；（2）结合律：()()abcabc要点三、向量的减法运算1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.2.运算法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.要点诠释：（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：ABADABDADB，从而用加法法则来解决减法问题.（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定0aa.（3）与AB长度相等、方向相反的向量，叫做AB的相反向量，即ABBA.【典型例题】类型一、向量的基本概念1.判断下列各命题是否正确：(1)若ab，则ab；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(3)若,abbc，则ac(4)两向量,ab相等的充要条件是ab且//ab.【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.【答案与解析】解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由ab推不出ab.(2)正确，,ABDCABDC∴且//ABDC.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形，则DCABDCAB,//且AB与DC方向相同.因此ABDC.(3)正确，,,abab∴的长度相等且方向相同；又,,bcbc∴的长度相等且方向相同，,ac∴的长度相等且方向相同.故ac.(4)不正确，当//ab但方向相反时，即使ab，也不能得到ab，故//abab不是ab的充要条件.【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.举一反三：【变式】下列说法正确的个数是()①向量//ABDC，则直线//AB直线;CD②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量AB既是有向线段AB；④在平行四边形ABCD中，一定有ABDC.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C类型二、向量的加法运算2.已知：凸四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC中点，求证：1()2EFABDC.【思路点拨】一般地,几个向量相加,可把这几个向量顺次首尾相接,那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量.【答案与解析】解：如图：EFEDDCCF，EFEAABBF.则：2()()()EFEAEDABDCCFBF∵E、F分别为AD、BC中点，∴0EAEDCFBF，ABCDEF∴1()2EFABDC.【总结升华】112341nnnOAAAAAAAOA举一反三：【变式】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知：四边形ABCD中，AOOC，DOOB，求证：ABCD是平行四边形.【答案】证明：由向量的加法法则：ABAOOB，DCDOOC，∵AOOC，DOOB，∴ABDC，即线段AB与DC平行且相等，∴ABCD是平行四边形.类型三、向量的减法运算3.三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.【答案与解析】已知：如图，ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：BCDE//且BCDE21.证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴ABAD21，ACAE21.∴BCABACADAEDE21)(21，∵D，B不共点，∴BCDE//且BCDE21.【总结升华】两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同；差向量的终点指向被减向量的终点.类型四、向量加减综合运算4.如图，已知向量ABa，ADb，∠DAB＝120°，且3ab，求ab和ab.ＡＢＣＤＯADEBC【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是,ab，由它可以“生”成,,ACDB.【答案与解析】【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式】如图，已知点,,DEF分别是ABC三边,,ABBCCA的中点，求证：0EAFBDC.||||3||||||||ABADABCDADABACabDBabACabDBab解：以、为邻边作平行四边形，由于，故此四边形为菱形由向量的加减法知，故，12060||3OODABDACADCAC因为，所以所以是正三角形，则333||||sin60322oAODODAD由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，||3||33abab所以，【答案】证明：连结,,DEEFFD.因为,,DEF分别是ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得EDEFEA(1)，同理在平行四边形BEFD中，FDFEFB(2)，在平行四边形CFDE在中，DFDEDC(3)将(1)(2)(3)相加，得EAFBDCEDEFFDFEDEDF()()()EFFEEDDEFDDF0.