专题复习---几何最值问题2019.4

1ABL专题复习（五）最短路径问题【问题原型】将军饮马，造桥选址，费马点，胡不归．【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，轴对称，平移．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”．（1）应用几何性质：①两点间线段最短；②三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。⑤考虑特殊位置或极端位置，先确定数值再完成一般情形的推证。（2）数形结合法：①建立函数模型的求最值；②利用完全平方公式变形1.一线两定点例1、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。张村李庄张村李庄2练习1．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为()A.3B．23C．26D.62．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，求BE＋DE的最小值．3．如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是AN︵的中点，P是直径MN上的一动点，⊙O的半径为1，在图画出P点，使AP＋BP的值最小，AP＋BP的最小值是．4．如图，已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．5．如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例y＝3x(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点．在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．32.两线一定点例2.(1)如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)(2)解决问题：如图3，在五边形ABCDE中，∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小(保留作图痕迹不写作法)；∠AMN＋∠ANM的度数为________．练习6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°7．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，△PMN的周长最小值是，此时四边形PMON的面积为________．3.两线两定点例3.如图，在直角坐标系中，有四个点A（-8，3），B（-4，5），C（0,n），D（m,0），求四边形ABCD的周长最短时的值.练习8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y＝45x2＋bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．(1)求该二次函数的表达式；4ABCDABCD(2)F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；(3)抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.立体图形展开例4、①一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到对面对角顶点B处，则它爬行的最短路径是。②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。练习9、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。10、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。11.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m。（结果不取近似值）第10题AB第9题第11题55.垂线段最短13．如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为()A．(0，0)B．(22，－22)C．(－22，－22)D．(－12，－12)14．在直角坐标系中点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为()A.352B．35C.655D.1015．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．16．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．6．平移修桥问题例6、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？练习17．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．两座桥架在何处，可使A到B点路径最短？18.如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。1）若P（，0）是轴上的一个动点，则当＝________时，△PAB的周长最短；2）若C（，0），D（，0）是轴上的两个动点，则当＝______时，四边形ABDC周长最短；pxpa3axa63）设M，N分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（，0），N（0，），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请写出和的值；若不存在，请说明理由。19如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．7.费马点问题△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小。练习21．1）如图△ABD和△ACE为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．xymnmnABxyO（1）ABxyO（2）ABxyO（3）图②ACB图②ACB图①FEDBAC722.若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,则PB的值为；8.综合类问题例7如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．例8如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b(ab)，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式abba222(当且仅当ba时取等号)来求最小值．例9、已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？23．已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？824.设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值．25.直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．112yxyx212yxbxcx||AMMClABlPBAyxODEABC9值最小．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值AB＇．【问题3】作法图形原理在直线1l、2l上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线1l、2l上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q、P关于直线1l、2l的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．【问题6】作法图形原理在直线l上求两点M、N（M在左），使aMN，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法图形原理1l上求点A，在2l上求点B，使PA+AB值最小．作点P关于1l的对称点P＇，作P＇B⊥2l于B，交2l于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．【问题8】作法图形原理作点A关于2l的对称点A＇，作点B关于1l的对称点两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．lBAlPB'ABl1l2Pl1l2NMP''P'Pl1l2NMP'Q'QPl1l2PQmnMNA'BAlaABMNmnABMNlA''A'BAMNl1l2ABP'Pl1l2Pl2l1ABNMl2l1MNA'B'AB10A为1l上一定点，B为2l上一定点，在2l上求点M，在1l上求点N，使AM+MN+NB的值最小．B＇，连A＇B＇交2l于M，交1l于N．【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBPA的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PBPA＝0．【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBPA的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边PBPA≤AB．PBPA的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBPA的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边PBPA≤AB＇．PBPA最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，