非线性交调的频率设计

非线性交调的频率设计摘要由于本题是设计非线性交调的频率，故而先根据题中数据，利用最小二乘法确定了输入与输出之间的关系，同时利用拟合得到了另一组输入与输出之间的关系式，根据平方误差，选取了利用MATLAB拟合得到的输入与输出之间的关系为最终输入输出关系式，根据得到的关系式，结合题中条件得到了求解交调的模型，对模型进行求解，得到了两组满足条件的频率（36,42,55）和（36,49,55）。最后我们对本题建立的模型的稳定性进行了验证和分析，证明了模型具有较高的稳定性。在模型的检验中得出方程系数的波动区间为（0.00000033,0.00117），当在这个区间波动时，模型是稳定的，从而检验了模型的稳定性。总体上来说本文建立的是一个准确的，具有较高的稳定性的模型。关键字：最小二乘法拟合MATLAB稳定一．问题重述如果一非线性器件的输入ut与输出yt的关系为2ytutut（其中t是时间），那么当输入是包含12,ff的信号12cos2cos2utftft时，输出yt中不仅包含输入信号12,ff，还包含12122,2,ffff等新的频率成分，这些新的频率称为交调，如果交调出现在12,ff附近，就会产生噪声干扰，因此工程对此有限制。对于一非线性系统，输入信号112233cos2cos2cos2utAftAftAft，其中12325,10,45AAA是输入信号振幅，对123,,fff的要求为：1）1233640,4150,4653fff。2）输出中的交调均不得出现在5if的范围内（1,2,3i），此范围称为if的接收带，若交调出现在6if得范围之外，其影响可忽略不计。3）if不得出现在jf的接收带内（,1,2,3()ijij）。4）定义输出中的信噪比2210lginBSNRC（单位：分贝）。其中iB为输出中对应与if的信号的振幅（1,2,3i），nC为某一频率为nf的交调的振幅。若nf出现在nf=6if处（1,2,3i），则对应的SNR应大于10分贝。5）为简单起见，if只取整数值，且交调只考虑2阶类型（即,,1,2,3ijffij）和三阶类型（即,,,1,2,3ijkfffijk）。试按上述要求设计123,,fff的取值。二．符号说明与模型假设2.1符号说明：运算精度值：方差2210lginBSNRC：信噪比nC：频率为nf的交调的振幅iB：if的信号的振幅if：信号频率：系数波动参数2.2模型假设1.我们认为系统外的干扰可忽略不计。2.对于ut次数大于4产生的交调可忽略不计。3.对于拟合出的多项式，对自变量为负的部分也是正确的。4.交调信号是二阶类型或三阶类型。5.不同频率输入信号频率相距较近时，会产生影响。三．问题分析在信号的输入输出工作过程中，人们往往遇到噪声干扰，干扰有时来自非线性系统输出过程中产生的新频率，称之为交调。工程上可以在允许的范围内调整12,ff，使得各交调对信号不产生干扰，或者是弱于干扰。解决此问题，可分为五个步骤：1）根据已知数据建立输入输出关系式；2）在if允许范围内，在满足频率的约束条件下选出全部可能的配置；3）计算输出的信号频率和交调频率的系数（振幅）；4）计算各信噪比，选出合乎要求的频率设计；5）对稳定性进行分析。四．模型的建立与求解4.1模型的初始建立4.1.1.输入与输出函数关系的确立：要确定交调频率，必先确定输入、输出函数。在一般情况下，优先选取多项式函数用于描述输入、输出之间的关系。从题中可以发现交调是由于对输入u(t)的乘方运算而产生的，于是我们可以建立如下的输入输出函数模型2012()()()()kkytbbutbutbut，题中要求只考虑二阶和三阶类型，所以加入限制条件3k,并且设定运算精度值=10^(-5)。综合以上我们可以建立最终的初始模型：201213()()()()()kkkkkytbbutbutbutbb(1)因为kut可能产生不超过k阶类型的交调，我们对k阶多项式2012()()()()kkytbbutbutbut(2)进行n元拟合。为确定（2）式的系数，分别视2,,...,kututut为k个变量，12,,...,kXtXtXt，用最小二乘估计对yt作k元回归，并设定运算精度值。令2011221...niiikikiybbxbxbx（3）对012,,,...,kbbbb分别求偏导，得到012,,,...,kbbbb使（3）式最小。故得正规方程0(0,1,2,...,)iikb，即00001100100111110011............kkykkykkkkkkySbSbSbSSbSbSbSSbSbSbS（4）设,,SBY分别为系数和解矩阵，则由（4）式得000101011101,,...,,,...,...,,...,kkkkkkSSSSSSSSSS，01...kbbBb，01...yykySSYS；（5）因为SBY,则1()TTBSSSY，因为3k，故先取3k且0b=0（y（t）,u(t)过（0,0））,先通过MATLAB解得上式，结果如下：230.2378970.04554490.00041445ytututut（6）同时通过使用MATLAB进行k次拟合(源程序见附录1),可得如图4.1所示结果:即3b=-0.00041417，2b=0.045508，1b=0.23913230.239130.0455080.00041417ytututut（7）则令k=4时可得4b=3.8327e-007，k=3时已经达到设定运算精度值，故停止运算。通过式子2011221...niiikikiybbxbxbx可得我们可得上述（6）、（7）发现两者精度较为相近，而k次拟合得到的（7）式是比（6）较为精确的，因此我们选取（7）式为输入输出关系式。4.1.2．交调频率的确定上式确定了yt与ut之间的关系及有关的交调频率，因此，可以将ut的具体表达式31cos2iiiutAft代入上式，在化简中出现了以下的频率和交调：if，1,2,3i；,,1,2,3ijffij；,,,1,2,3ijkfffijk，if为整数。由于题目只考虑二阶交调和三阶交调，所以在判断时不用考虑if，1,2,3i；I.确定算法i.求得对if会产生干扰的频带,ab,min(1)max(1)iiafbf，,为if的偏离度；ii.剔除所有不在,ab区域内的,,1,2,3ijffij；,,,1,2,3ijkfffijk；iii.记下所有属于,ab区域内的,,1,2,3ijffij；,,,1,2,3ijkfffijk；iv.记下所有满足ijff的二阶交调的每一组数据，记下满足ijikjkffffff的三阶交调的每一组数据；v.将上述属于,ab区域内的每一组交调频率，计算每一组各个频率对应的2210lginBSNRC，若满足nf出现在nf=6if处（1,2,3i），对应的SNR应大于10分贝，保留；否则剔除；ⅵ.可得最终结果，停止。II.模型改进在上述建立的模型中，没有给出nC的具体算法，根据在求得的输入与输出关系式时，可得如下几种情况：a．含有频率if的振幅iB（i=1,2,3）,21332iiijBbAbAA。b.含有三阶交调(,,1,2,3,)ijkfffijkijk形式的振幅，均为312332CbAAA。c.含有三阶交调2,1,2,3,ijffijij形式项的振幅为2334ijbAA。4.2模型求解由题目所给条件（1）可知if产生干扰的频带,ab为[30,61],按照算法的步骤对交调项进行讨论，得到满足i，ii，iii的交调频率，包含以下几种：①123fff，②132fff，③321fff，④122ff，⑤132ff，⑥232ff，⑦212ff，⑧312ff，⑨322ff。继续根据iv进行筛选，剔除④~⑨，按照v进行最终筛选可得两组解，分别为（36,42,55）和（36,49,55）。五.模型的稳定性分析和检验5.1函数系数的稳定性分析在此我们讨论所拟合的多项式系数的波动对解的影响，由以上分析知共有6组交调满足算法要求，其中4组不满足信噪比的要求，只有2组合乎要求，为了确定各系数的变化范围，经过计算我们得到了以下3组不等式组：22221331222221333222221213333490023490023169002bebbAAbebbAAAAbebbA(Ⅰ)22221331222221333222223213313490023490023169002bebbAAbebbAAAAbebbA(Ⅱ)2221331222221333222213313349002349002349002bebbAAbebbAAbebbAA(Ⅲ)其中321jjeA.当1b0.23796，3b=-0.0004145。111333,bbbb时，上式中222131313131333333()2()22222bebbebbebee结合模型一中所求结果得出系数波动区间为（0.00000033,0.00117），易看出我们建立的模型稳定性是很高的。上述的区间即为方程系数的波动范围，有分析可知，当系数在此范围波动时,我们的结果是稳定的。5.2关于输出中的最高次不影响结果的分析由于本题要求只考虑二阶和三阶类型的交调，高于4次的函数项也有可能够产生这种类型的交调，但由于高于4次的函数项的系数小于，故对于某个要讨论的交调，4次的函数项产生的该交调的振幅，相对于3次函数项产生的振幅在稳定范围内，对结果不产生影响。5.3输入的微小波动不影响稳定性由于在求解时采用的if都处于某一稳定的范围内以整数变化，所以系统误差或是其他的误差产生的微小波动，不会对结果产生影响，即不影响模型的稳定性。六.模型的优缺点分析6.1模型的优点a.通用性强，适用于不同精度要求的求解；模型化程度高，易于推广；b.稳定性强，所得结果不因未知因素而产生较大范围的变化，抗波动能力较强；c.模型的程序化程度较高，大大的提高了模型的效率，为模型求解节省了大量的时间；d.理论性强，具有一定的研究价值。6.2模型的缺点模型在求解时，由于引入了大量的数学理论，所以求解理论性较强，不易于理解。参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.8（2008重印）.[2]赵静，但琦主编.数学建模与数学实验.-3版.北京：高等教育出版社，2008.1.[3]赵新芬编著.MATLAB数学建模与仿真.北京：国防工业出版社，2009.4.附录:1.确定输入与输出之间的拟合系数:k=3;u=[0510203040506080];y=[02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.5];f=polyfit(u,y,k);disp'y关于u(t)的拟合系数如下，由u(t)^k,...,u(t)'formatshortgf