非线性系统理论

演讲人：张琳第六章非线性系统理论目录Contents走进非线性非线性特性非线性系统线性化描述当作非线性非线性系统行为特征启示1234567030405071020Page一直蝴蝶在巴西轻拍翅膀销能力导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风蝴蝶效应非线性？瓶颈型指数型折叠型变比型滞后型间断（跳跃）型失灵型饱和型拐点型循环型非单调型螺旋升降型多值相应型过犹不及型振荡型非线性特性两个变量不按固定的比率变化如：弹簧系统的长度L与作用力F的关系F=kL在一定阶段后逐步趋向于或保持在某一常数值“饱和特性”如：C图为某一地区的种群增长率（如池塘鱼群）曲线在拐点处前后弯曲程度不同如：社会的经济政治文化，个人的思维和心理活动（i）（ii）代表抛物线，（iii）反映了“一波三折”自变量x太过(x2)与不及(x1)对应的函数值相同如：事情做得过头，就跟做得不够一样，都是不合适的不规则振荡正弦波动如：心跳如：声波(i)为一元多线(ii)为多值函数“一因多果”如：一场大雨能使水稻长势更旺，却使棉花落铃减产如：事物周而复始的运动如：辩证哲学中事物的螺旋式上升肯定——否定——否定之否定函数在自变量的某些点上发生不连续的变化“间断特性”如：中彩票的收入变化在自变量x的一定范围内函数y的值为0“失灵特性”如：出台一项政策函数连续而它的导数发生不连续的变化“折叠特性”如：街道的拐角如：市场经济的滞后性自变量不断增大，因变量却停滞不前如：下课时段，学生街小巷子的拥挤人群（1）是非指数式变化的（2）是指数式变化的如：细胞癌变，金融海啸非线性系统不满足叠加原理基本特征下面我们考察以下抛物线函数描述的响应特性：212y21212122112yyyuauyyyuuuyuyuau非线性系统本质非线性平庸非线性弱非线性非本质非线性非平庸非线性对非线性现象的粗略分类：强非线性•X2弱于X3•单调变化的弱于非单调变化的•小范围看是弱非线性，大范围看是强非线性连续、光滑变化——非本质不连续、非光滑变化——本质能产生奇异行为的——非平庸非线性非线性系统的线性化描述最简单的一维非线性系统，动力学方程的一般形式为：按泰勒公式展开的无穷级数：近似表示为以下线性系统：)(xfx)())(()()(000xxxxfxfxfbaxxxxfxfxf))(()()(000“非线性是对线性的偏离”非线性余项“略去非线性余项”对非线性系统的局部线性化处理：非线性系统的线性化描述局部线性化加微扰方法：线性化近似处理高次项为扰动因素对结论加以修正分段线性化方法：用一系列首尾相接的折线段近似代表曲线。如：沿曲折的海岸线修路把非线性当作非线性非线性系统的线性化系统科学二者对比研究的主要对象是非线性只限于处理非本质的非线性问题把非线性当作余项把非线性当做线性来对待把非线性当作主项保留系统产生的多样性，奇异性，复杂性的根源非线性系统的稳定性一维系统：不动点方程：即均为不动点x·xxsin0sinxkx轨道稳定性的非划一性非线性系统的稳定性•线性化处理，线性稳定性分析李亚普诺夫第一方法（线性近似法）•直接构造函数，按其性质判断李亚普诺夫第二方法（直接法）非线性系统稳定性的判别方法非线性系统的相图极限环多维环面12345鞍点引出的轨道：鞍沿如：地球表面上的分水岭非线性系统的吸引子线性系统非线性系统类型数量吸引域系统演化•点吸引子，环吸引子，奇怪吸引子，“混沌边缘”等•可能存在几个吸引子•划分为若干区域，每个吸引子只能刻画吸引域中的系统行为•有多种可能前途，系统演化过程中对其进行选择。•只存在点吸引子•至多只有一个•整个相空间•只有一种前途非线性系统的自激振荡非线性系统自激振荡稳定：自持振荡不稳定：非自持振荡极限环系统在没有周期性外作用力驱动下由于本身的非线性效应而自发出现周期运动。判断一个非线性系统有无极限环非线性系统的自激振荡极限环孤立的闭合轨道周围无闭合轨道，只有螺旋型轨道对周围的轨道要么吸引，要么排斥一类定态代表系统的一类典型的运动体制中心点非闭合轨道周围有无穷多条闭合轨道对附近的闭合轨道既不互相吸引，也不相互排斥附近的闭合轨道是系统的扰动态不代表系统的一种典型运动体制非线性系统的非平庸行为自激振荡多吸引子并存混沌运动……——非线性系统的各种非平庸行为以上都是非线性相互作用产生的系统现象，反映的是系统的整体涌现性。非线性系统的双稳态势垒稳定不动点A不稳定不动点C稳定不动点B非线性系统的双稳态花瓶？脸型？诗歌风格美国政治体制豪放派婉约派共和党民主党非线性系统的双稳态并非所有的非线性系统都具有双稳态控制空间的吸引域决定了系统的的体制在双稳态体制下，稳态之间的转换必须跨越横亘在两个稳态之间的势垒非线性系统双稳态应注意的问题：启示1、现实世界本质上是非线性的2、把非线性当作非线性来处理是非线性科学的方法论原则3、非线性是现实世界无限多样性、丰富性、奇异性和复杂性的来源4、非线性系统多吸引子共存并且相互竞争Thanks!