数学分析试题及答案7

（二十一）数学分析期终考试题一叙述题：（每小题5分，共15分）1开集和闭集2函数项级数的逐项求导定理3Riemann可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分）1、9131dxxx2、求)0()(222babbyx绕x轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数nnnxn12)11(的收敛半径和收敛域4、11lim222200yxyxyx5、22),,(yzxyxzyxf，l为从点P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求fl(P0)三讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知0,0001sin)(),(222222yxyxyxyxyxf，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数12211lnnnn的敛散性。3、讨论函数项级数]1,1[)1(11xnxnxnnn的一致收敛性。四证明题：（每小题10分，共20分）1若adxxf)(收敛，且f（x）在[a,+∞）上一致连续函数，则有0)(limxfx2设二元函数),(yxf在开集2RD内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz条件：''''''),(),(yyLyxfyxf其中LDyxyx,),(),,('''为常数证明),(yxf在D内连续。参考答案一、1、若集合S中的每个点都是它的内点，则称集合S为开集；若集合S中包含了它的所有的聚点，则称集合S为闭集。2设函数项级数1)(nnxu满足（1）),2,1)((nxun在[a，b]连续可导a)1)(nnxu在[a，b]点态收敛于)(xSb)1')(nxun在[a，b]一致收敛于)(x则)(xS=1)(nnxu在[a，b]可导，且11)()(nnnnxudxdxudxd3、有界函数)(xf在[a，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max1inix时Darboux大和与Darboux小和的极限相等二、1、令31xt（2分）7468)1(312033913dtttdxxx（5分）2、222221,xabyxaby，（2分）所求的体积为：badxyyaa2222212)(（5分）3、解：由于ennnnnnnn1])111(1))111()11(lim[(11收敛半径为e1(4分），当ex1时，)(01)1()1()11(2nennnn，所以收敛域为)1,1(ee(3分）4、2)11(lim)11)(11()11)((lim11lim22002222222200222200yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx（7分）5、解：设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(zyxfff（4分）136)2,1,2(lf（3分）三、1、解、000)1cos11(sin22222222222yxyxyxyxyxxfx（4分）由于22221cos1yxyx当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的yf也不连续，（2分）2、解：11211lnlim222nnnn（5分）1212nn收敛，所以原级数收敛（5分）3、解：部分和1)(1nxxxSnn（3分），,0取1N，Nn时有nnxxxSnn11)(1，所以级数一致收敛（7分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：用反证法若结论不成立，则XxaX00,.,0，使得00)(xf，（3分）又因为在f（x）在[a,∞）上一致连续函数，axx'''0,),1,0(，只要0'''xx，有2)()(0'''xfxf，（3分）于是1,00AXaA令，取上述使00)(xf的点,0Xx，不妨设0)(0xf，则对任意满足00xx的x，有022)()(000xfxf取A和A‘分别等于200x和200x，则002)('AAdxxf有，由Cauchy收敛定理，adxxf)(不收敛，矛盾（4分）2、证明：Dyx),(00，由Lipschitz条件),(),(),(),(),(),(000000yxfyxfyxfyxfyxfyxf),(),(0000yxfyxfyyL（1），（6分）又由二元函数),(yxf在开集2RD内对于变量x是连续的，（1）式的极限为0，),(yxf在),(00yx连续，因此),(yxf在D内连续（4分）（二十二）数学分析期末考试题一叙述题：（每小题5分，共15分）1Darboux和2无穷限反常积分的Cauchy收敛原理3Euclid空间二计算题：（每小题7分，共35分）1、nnnn!lim2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积2222xyxy3、dxxeInxn0(n是非负整数）4、设fxyzzyxfu),,(222具有二阶连续偏导数，求xzu25、求xexf)(的幂级数展开式三讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例2、讨论级数)0(cos1xnnxnp的绝对和条件收敛性。四证明题：（每小题10分，共30分）1f（x）在[0，+∞）上连续且恒有f（x）0，证明xxdttfdtttfxg00)()()(在[0，+∞）上单调增加2设正项级数1nnx收敛，nx单调减少，证明0limnnnx3yxyyxf2),(，证明：),(lim00yxfyx不存在参考答案一、1、有界函数)(xf定义在],[ba上，给一种分法P，bxxxan10和记],[),(inf,],[),(sup11iiiiiixxxfmxxxfM，则niiiniiixmPSxMPS11)(,)(分别称为相应于分法P的Darboux大和和Darboux小和。2、aN.0使得Nnm，成立nmdxxf)(3、nR向量空间上定义内积运算nnyxyx11yx,构成Euclid空间二、1、由于1ln1lnlim)ln)ln((1lim!lnlim1011xdxnninninnnninninnn（7分）2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2分）所求的面积为：34)22(202dxxx（5分）3、解：dxxeInxn0=0|xnex+dxxennx01=1nnIdxxenx10+dxxenx1（6分）!nIn(1分）4、：xu=212yzfxf（3分）)2()2(22221212112xyfzfyzyfxyfzfxxzu（4分）5、解：由于余项)(0)!1()(1nxnexrnxn，（3分）所以!!212nxxxenx（4分）三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页（6分）2、解：当1p时，级数绝对收敛，（4分）当10p，由Dirichlet定理知级数收敛，但ppppnnxnnnxnnx22cos21coscos2，所以1|cos|npnnx发散，即级数条件收敛（4分），当0p时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2分）四、证明题（每小题10分，共30分）1证明：0))(())()(()())(()()()()()(2002000'xxxxxdttfdtttftxfxfdttfdtttfxfdttfxxfxg（8分）所以函数单调增加（2分）2证明：mnm,，有mnmxxxmn1)(由此得mnxmnnnx，（4分）由级数收敛，故0可取定0m使得0mx，又1lim0mnnn，故0n使得0nn时，有2mnn，（4分）于是当0nn时，有20nnx，得证（2分）3、证明：1lim),(lim200xxxyxfxxyx21lim),(lim222002xxxyxfxxyx，所以),(lim00yxfyx不存在（10分）（二十三）数学分析期末考试题一叙述题：(每小题5分，共15分）1微积分基本公式2无穷项反常积分3紧几合二计算题：(每小题7分，共35分）1、]11[214042xdxtdtdxdx2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积22xyxy3、求1)2(nnxnn的收敛半径和收敛域4、设yexeuzyz，求偏导数和全微分5、xyxyyx11lim00三讨论与验证题：(每小题10分，共30分）1讨论22222)(),(yxyxyxyxf的二重极限和二次极限2讨论epxxdx10ln的敛散性3、讨论函数项)10()(1xxxxfnnn的一致收敛性。四证明题：(每小题10分，共20分）1设f（x）连续，证明dudxxfduuxufxux000)())((2证明)(22yxyu满足uyxyuxxuy参考答案一、1、设)(xf在],[ba连续，)(xF是)(xf在],[ba上的一个原函数，则成立)()()(aFbFdxxfba。2、设函数)(xf在),[a有定义，且在任意有限区间],[Aa上可积。若极限AaAdxxf)(lim存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散3、如果S的任意一个开覆盖U中总存在一个有限子覆盖，，即存在U中的有限个开集kiiU1，满足SUiki1，则称S为紧集二、1、]11[214042xdxtdtdxdx=8041212xxtdtdxdx（7分）2、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2分）所求的面积为：29)2(122dxxx（5分）3：1)2(limnnnn，收敛半径为1（4分），由于1x时，级数不收敛，所以级数的收敛域为（-1，1）（3分）4：xu=yzeyu=1yzxzezu=zyzexye（4分）dzexyedyxzedxeduzyzyzyz)()1(（3分）5、解：21)11()11)(11(lim11lim0000xyxyxyxyxyxyyxyx（7分）三、1、解、由于沿kxy趋于（0，0）时，1110)(lim22222)0,0(),(kkyxyxyxkxx，所以重极限不存在（5分）0)(limlim,0)(limlim22222002222200yxyxyxyxyxyxxyyx，（5分）2：10p，由于)0(0ln121xxxxpp故epxxdx10ln收敛（4分）；1p，由于)(ln121xxxxpp（4分）故epxxdx10ln收敛，1p，exxdx10ln，发散（2分）。3、)(0)(limxfxfnn（3分），0)11()1(limsuplim)()(suplim1nnnnxxxfxfnnnnxnnn，所以函数列一致收敛（7分）四、证明题（每小题10分，共20分）1证明：dudxxfxu00)(=xxxxuduuufduufxduuufdxxfu00000)()()()(=xduuxuf0))((（10分）2、证明：)(222'yxxy