怎样快速绘制剪力图和弯矩

怎样快速绘制剪力图和弯矩图毛和业（黔南职业技术学院机电系，贵州，都匀558022）摘要《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课。在目前高职高专、中职学生文化素质不高，而在本门课课时安排不多情况下，如何让学生掌握基本理论与基本计算方法至关重要。在工程构件中，最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提，而这一绘制过程复杂，计算量大。因此，根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化，找到一种学生易于掌握，且准确率高的方法，在该门课程的教学与工程实际中均有重要意义。关键词：剪力图弯矩图绘制快速HowtodrawtheshearingforcediagramandbendingmomentdiagramrapidlyMAOHe-ye(MechanicalandElectronicDepartment,QiannanVocationalAndTechnicalCollege,Duyun558022,China)Abstract:EngineeringMechanicsisanimportantbasictechnologycurriculuminvarietyofengineeringcourses.becausethecultureleverofthestudentsinHigh-Vocationalschool、High-TechnologicalacademyandMiddle-Vocationalschoolisnotrichandthehourofthecourseislimited,Howtomasterthebasictheoryandbasiccomputemethodisveryimportanttothesestudents.Baseontheyearsofteachingexperienceofthecourse,Asimple、easy、rapidandaccuratemethodfordrawingtheshearingforcediagramandbendingmomentdiagramissummarizedforthepurposeofincreasingthestudyefficiencyofthestudents.Keywords:shearingforcediagram;bendingmomentdiagram;draw;rapid1、引言《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课，特别对于机电类专业，学生学习质量的好坏，对后续课程的学习，如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。目前中职、高职高专《工程力学》课程的学时数一般安排在80学时左右，其内容包含了静力学、材料力学和运动力学三个部分。本课程的最终目标是让学生能对构件正确进行运动分析，掌握构件的强度、刚度和稳定性的计算中必备的理论基础与计算方法，从而解决强度和刚度计算中的强度校核、计算截面尺寸、确定许可载荷三类问题。在以上三类问题的计算中，都是以危险截面为前提，而剪力图和弯矩图正是用平行于梁的坐标表示梁截面位置，用垂直于梁的坐标表示剪力或弯矩的大小，它能形象准确找到危险截面。因此，能否正确绘制出剪力图和弯矩图，关系到整个计算的成败。而这部分内容则是在《工程力学》教材中所有篇幅较多，计算量较大的内容之一。目前高职高专或中职学生普遍文化素质较差，加上本课程课时较少，的确给教学以及学生对这部分内容的掌握带来了很大难度。根据笔者多年从事《工程力学》教学的实践，总结出在两图的绘制中快速且学生容易掌握的方法，供从事该门课的教师参考。2、传统绘制剪力图和弯矩图的步骤（1）根据梁的受力情况，计算约束反力可根据已知条件，包括受力情况及约束类型，用静力平衡方程进行计算，对学生来说能较容易解决。（2）对梁进行分段，列出各段的剪力方程和弯矩方程分段时须先找到分界点，把每两个界点之间的部分作为一段。一般把梁上以下点作为分界点：集中力作用处（包括主动力与约束反力）、集中力偶作用处及均布载荷的起止点。这点对于学生掌握来说也不难。接下来需列出每一段的剪力方程和弯矩方程，这个过程是较繁琐的，每段列两个方程，且须确定各分段函数的定义域。（3）确定各界点的剪力值和弯矩值根据各段的剪力与弯矩方程，计算各界点的值，这个过程也较复杂。特别对于梁中段的界点，往往要分别计算其左侧及右侧的剪力值和弯矩值。作者简介：毛和业，出生年月：1959年10月，贵州瓮安人，黔南职业技术学院机电工程系，高级讲师，研究方向：机电技术应用（4）画剪力图与弯矩图根据各段的剪力、弯矩方程以及各界点的剪力、弯矩值绘制出剪力图（Q图）和弯矩图（M图）。3、用快速方法绘制剪力图与弯矩图这种方法对于必须又比较简单的计算反力和梁的分段不变，而是要对列各段的剪力、弯矩方程及计算各界点的值进行简化。其实质就是根据掌握各种载荷的剪力图和弯矩图的规律，而不需列出剪力与弯矩方程迅速绘制出剪力图与弯矩图。规律如下：（1）梁上没有均布载荷作用的段，剪力图为水平直线（斜率为0），弯矩图为倾斜直线。（2）在有均布载荷作用的段上，剪力图为倾斜直线，直线由左上向右下倾斜；弯矩图为抛物线，抛物线开口与均布载荷的方向一致。（3）在集中力作用处，剪力图有突变，突变之值为该处集中力的大小，突变方向与集中力方向一致；弯矩图在此处出现尖角（即在该点两侧斜率不同）。（4）在集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变之值为该处集中力偶矩的大小，方向为顺针转向时，向上突变；逆时针转向时向下突变。（5）弯矩最大值（绝对值）总是出现在以下截面上：Q=0的截面上（即抛物线段的极值点）；集中力作用下；集中力偶作用处。根据上述几条规律，可在不需列出剪力方程与弯矩方程的情况下而迅速绘出剪力图和弯矩图。下面用一有集中力、集中力偶和均布载荷较复杂的题来说明其绘制方法。例：一处伸梁AB的受力情况如图1所示，试作该梁的剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力以梁AB为研究对象，受力图见图2，并列出平衡方程∑MA(F)=0，P×2–M–8q×4+8RB=0代入已知数据，解得：RB=14kN∑Fy=0，RA+RB–P–8q=0,解得：RA=28kN（2）分段此梁共不C、A、B三个界点，故将梁分为CA、AB两段。（3）确定界点处各截面的Q、M值C点：QC+=–P=–10kNMc=–P×0=0A点：QA—=–P=–10kN,MA—=–P×2=–10×2=–20KN.mQA+=–P+RA=18kN,MA+=–P×2+M=–16kN.mB点：QB—=–RB=–14kN，MB—=0（4）画剪力图（图3）CA段：C点有集中力P=10kN，方向向下，Q图应向下突变10kN。因该段内无均布载荷，故为水平直线。AB段：因A点有集中力RA=28kN，方向向上，故Q图应向上突变28kN。该段受均布载荷作用，Q图应为斜直线，由QB—=–14kN，即可画出该段的剪力图。P=10kNM=4kN.mq=4kN/mCAB2m8m图1P=10kNM=4kN.mq=4kN/mBCABRARB2m8m图2（5）画弯矩图（图4）CA段：该段无均布布载荷，M图应为斜直线，由Mc=0及MA—=–20kN.m，即可画出该段的弯矩图。AB段：A点处有顺时针方向的集中力偶作用，故M图在该截面上有M=4kN.m的向上突变。因该段梁受向下的均布载荷作用，故M图为开口向下的抛物线。而在该段上有Q=0的点，故在M图上在对应的截面处出现极值点（即该段Mmax）。为了求出该段内极值点所在截面的位置，可设该段内距左端为x的截面上Q=0，于是有Q=–P+RA–q(x–2)=0解得x=6.5m即距左端6.5m的截面上剪力为零，该截面上的弯矩即为该段上的Mmax，其大小为Mx=6.5m=–10×6.5+4+28(6.5–2)–4(6.5–2)×½(6.5–2)=24.5kN.m最后，由MA+=–16kN.m、Mx=6.5m=24.5kN.m及MB—=0画出抛物线，得该段弯矩图。可见，该梁弯矩最大值为24.5kN.m，在距左端6.5m的截面上。综上所述，对于一般工程上梁弯曲时其剪力图与弯矩图的绘制，只需在画出受力图且求出约束反力的基础上，求出几个界点处的剪力与弯矩值，然后根据各段上的载荷情况即可绘制出梁的剪力图与弯矩图，而不需要分段后列出每一段的剪力方程和弯矩方程（包括确定每一分段函数的定义域），然后再根据每一分段函数的图象，使其大为简化。参考文献：1、杜建根，陈庭吉.普通高等职业教育规划教材工程力学，北京,机械工业出版社，2003年6月.119-1262、程嘉佩.中等专业学校教材材料力学，北京，高等教育出版社，1989年10月，146-1543、王力金，材料力学教学法参考书，北京，高等教育出版社，1987年17月，201-20618kNQ图(+)(-)(-)10kN14kN图3单位：kN.m24.5(+)M图（—）1620图4