4.2.1 理想单色平面光波在晶体中的传播(波法线菲涅耳方程)

4.2理想单色平面光波在晶体中的传播(Thetransmissionofidealnonochromeplanarlightwaveincrystals)4.2.1光在晶体中传播的解析法描述(analyticdescriptionoftransmissionoflightincrystals)4.2.2光在晶体中传播的几何法描述(Geometricdescriptionoftransmissionoflightincrystals)4.2.1光在晶体中传播的解析法描述根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。0(1-8)0(1-9)(1-10)(1-11)ttLLLLLLLLLLLLLLDBBEDHDEBHJEvrrrrr1.麦克斯韦方程组均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为0(17)(18)0(19)0(20)ttDΗHEBD0(21)(22)BHDEvv为简单起见,只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性.1)单色平面光波在晶体中的传播特性(1)晶体中光电磁波的结构i()000()ntce、、、、krEDHEDH式中，设晶体中传播的单色平面光波为001//rnccn2π2π2πcvcncnkvnki()0(1-22)tkzeLLEEi()000()ntce、、、、krEDHEDH对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以-i代替，以(in/c)k代换算符。/t()()00nnititcciteetkrkrEEE()()00nnititcceikrrcenkrkrEEEE经过运算，(17)式～(20)式变为(1)晶体中光电磁波的结构0(23)(24)0(25)0(26)cncnHkDEkHkDkH由这些关系式可以看出：0(17)(18)0(19)0(20)ttDΗHEBD(1)晶体中光电磁波的结构①D垂直于H和k，H垂直于E和k，所以E、D、k在垂直于H的同一平面内。并且，在一般情况下，D和E不在同一方向上。波阵面波阵面kHDEsvpvr0(23)(24)cncnHkDEkH(1)晶体中光电磁波的结构②由能流密度的定义SEH可见，H垂直于E和s，故E、D、s、k同在一个平面上。并且在一般情况下，s和k的方向不同，其间夹角与E和D之间的夹角相同。0(24)cnEkH波阵面波阵面kHDEsvpvr(1)晶体中光电磁波的结构可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。波阵面波阵面kHDEsvpvr(2)能量密度e1()()222nnccEDEHkEHkm1()()222nnccBHHEkEHk根据电磁能量密度公式及(23)式、(24)式，有0(23)(24)cncnHkDEkH(2)能量密度总电磁能量密度为(27)emncSsk对于各向同性介质，因s与k同方向，所以有(28)ncSem()2()2ncncΕHkEHk(3)相速度和光线速度(29)ppcnvkk光线速度vr是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度的方向s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即rr(30)Svss相速度vp是光波等相位面的传播速度，其表示式为(3)相速度和光线速度由(27)式～(30)式可以得到prrcos(31)sk单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。ABABksvrvppprr(29)(31)cncnLkkskskrrrr(30)(27)=vcnnccnLLSSssskskskSSsksk(3)相速度和光线速度在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离，其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平面光波的相速度也即是其能量传播速度。ABABksvrvp2)光波在晶体中传播持性的描述(1)晶体光学的基本方程22020()()nncDEkkEkk由麦克斯韦方程组出发，将(23)式和(24)式的H消去，可以得到001c0(23)(24)cncnHkDEkH(1)晶体光学的基本方程再利用矢量恒等式()()()ABCBACCAB变换为20()(32)nDEkkEABBA22020()()nncDEkkEkk(1)晶体光学的基本方程ksDDEE(k·E)k(s·D)s方括号[E－k(k·E)]实际上表示E在垂直于k(即平行于D)方向上的分量，记为。E20()(32)nDEkkE(1)晶体光学的基本方程由此，(32)式可以写成20(33)DnE20()(32)nDEkkEksDDEE(k·E)k(s·D)s(1)晶体光学的基本方程因为cosEE所以222000cos(34)coscos(cos)(cos)EDDDEnnnDE0rrn(1)晶体光学的基本方程根据折射率的定义pcn可以在形式上定义“光线折射率”nr：rrpcoscos(35)ccnnprcos(31)(1)晶体光学的基本方程201(36)rnED由此可将(34)式表示为或20()(37)rcnEDssD20(34)(cos)DEnrrpcoscos(35)ccnn(1)晶体光学的基本方程2020(33)()(32)DnEnDEkkE20201(36)()(37)rrncnEDEDssDksDDEE(k·E)k(s·D)s(1)晶体光学的基本方程上式决定了在晶体中传播的光电磁波的结构，给出了沿某一k(s)方向传播的光波电场E(D)与晶体特性n(nr)的关系，因而是描述晶体光学性质的基本方程。2020(33)()(32)DnEnDEkkE20201(36)()(37)rrncnEDEDssD(2)菲涅耳方程01,2,3iiiDEi选取主轴坐标系，因而物质方程为(22)vvDE123000000vv①波法线菲涅耳方程(波法线方程)②光线菲涅耳方程(光线方程)①波法线菲涅耳方程(波法线方程)20()1,2,3(38)iiiDnEkikE将基本方程(32)式写成分量形式20()(32)nDEkkE并代入Di~Ei关系，经过整理可得02()(39)11iiikDnkE0(16)iiiDE20()1,2,3(38)iiiDnEkikE200()iiiiDDnkkΕ22002()()11iiiiiiiDkDnnkDnkEkE将(39)式代入后，得到2223122221230(40)111111kkknnn①波法线菲涅耳方程(波法线方程)由于Dk＝0，所以有1122330DkDkDk02()(39)11iiikDnkE2223122221230(40)111111kkknnn该式描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的折射率n和晶体光学参量之间的关系。vr①波法线菲涅耳方程(波法线方程)123000000vv①波法线菲涅耳方程(波法线方程)上式还可表示为另外一种形式根据p＝c/n，可以定义三个描述晶体光学性质的主速度：123123=,=,=ccc它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向x1、x2、x3的相速度。由此可将(40)式变换为2223122222221230(41)pppkkk2223122222221230(41)pppkkk2223122221230(40)111111kkknnn123123=,=,=cccp/cn①波法线菲涅耳方程(波法线方程)上式描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的相速度P和晶体的光学参量1、2、3之间的关系.通常将(40)式和(41)式称为波法线菲涅耳方程.2223122222221230(41)pppkkk2223122221230(40)111111kkknnn由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率(或相速度)随光波方向k变化。①波法线菲涅耳方程(波法线方程)2223122222221230(41)pppkkk2223122221230(40)111111kkknnn这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相速度)的特性，即是晶体的光学各向异性。它们是n2或p2的二次方程，一般有两个独立的实根n、n或p、p，因而，对应每一个波法线方向k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波.①波法线菲涅耳方程(波法线方程)2223122222221230(41)pppkkk2223122221230(40)111111kkknnn在由(40)式、(41)式得到与每一个波法线方向k相应的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向k相应的光波D和E的振动方向，可将(38)式展开2222111122133222221122223322223113223331010(42)10nkEnkkEnkkEnkkEnkEnkkEnkkEnkkEnkE①波法线菲涅耳方程(波法线方程)20()1,2,3(38)iiiDnEkikE2222111122133222221122223322223113223331010(42)10nkEnkkEnkkEnkkEnkEnkkEnkkEnkkEnkE1011210111122332222111122133=()10DEDnEkkEkEkEnkEnkkEnkkE2021011112233()1,2,3(38)()iiiDnEkiDnEkkEkEkEkE将由(40)式解出的两个折射率值n和n分别代入(42)式，即可求出相应的两组比值和，从而可以定出与n和n分别对应的E和E方向。123::EEE123::EEE①波法线菲涅耳方程(波法线方程)2223122221230(40)111111kkknnn2222111122133222221122223322223113223331010(42)10nkEnkkEnkkEnkkEnkEnkkEnkkEnkkEnkE123::DDD123::DDD求出相应的两组比值和,从而可以定出与n和n分别对应的D和D的方向。①波法线菲涅耳方程(波法线方程)101