数值分析Ch2插值法

数值分析ComputationalMethodChapter2插值法2.1问题的提出函数的插值就是对函数的离散数据建立连续的，简单的数学模型。具体说来，设函数的离散数据为nxxxxx210nyyyyy210xPiiyxP若有简单函数使得xfy),,2,1,0(nixPxfxf则称为的插值函数，称为被插值函数。iiyxP),,2,1,0(niixxnxxxx210点称为插值条件。称为插值点,称为插值节点,,minixaixbmaxba,bax,bax,设,称为插值区间。求插值函数的方法称为插值法。称内插法，，称外插法。xPxPxPxPxP若选为多项式则称为插值多项式，相应插值法称为代数插值或多项式插值，若选为有理分式函数，相应插值法称为有理插值，若选为三角多项式，相应插值法称为三角插值，若选为分段函数，相应插值法称为分段插值。2.2拉格朗日插值1.线性插值与抛物插值•线性插值设函数的离散数据为x0x1x)(xfy0y1y构造一个线性函数xaaxL011)(满足条件)(01xL,0y)(11xL.1y)(0010101xxxxyyyxL010110101)(xxxxyxxxxyxL)()(1100xlyxly其中,)(1010xxxxxl0101)(xxxxxl为Lagrange线性插值基函数。1,0,jijiji,0,1xlji)(xL1,0y1y为线性插值基函数的线性。组合,组合系数是函数值·抛物插值（二次插值）已知数据表x)(xfy0x1x0y1y构造一个二次函数20122)(xaxaaxL满足条件,)(002yxL,)(112yxL2x2y.)(222yxL)()()()(2211002xlyxlyxlyxL,))(())(()(2010210xxxxxxxxxl,))(())(()(2101201xxxxxxxxxl为Lagrange二次插值基函数。2,1,0,jiijij,0,1xlji)(,))(())(()(1202102xxxxxxxxxl为二次插值基函数的线性组合，组合系数是函数值。xL2例：已知下列数据:求线性插值及抛物插值函数，并求ln3.27的近似值。x3.23.33.4y1.1631501.1939221.223775xyln2.n次Lagrange插值多项式已知数据表xy0x1x0y1ynnnnnxaxaxaaxL0221)(,)(iinyxLnxnyni,,1,0构造一个n次多项式满足条件为n次插值基函数的线性组合，组合系数是函数值。xLn)()()()(1100xlyxlyxlyxLnnnnji,,2,1,0,ijij,0,1xlji)(0x函数节点1x2xnx)(0xl)(1xl)(xln100000000011)())(())(()())(())(()(11101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlni,,1,0例已知某一复杂函数y=f(x)可以构造出如下函数表:x1346y75814先作出y=f(x)的Lagrange插值多项式,再求其在x=2处的值。nikkkxx,1)(-----Lagrangen次插值基函数nikkkixx,1)(定理：次数不超过n插值多项式是存在唯一的。证明：（存在性）xLnxPxPxLn1n（唯一性）若也满足插值条件，则有个互异零点，故为零。证毕xfn1nxf例证明：若是次数的代数多项式，则对任意个互异节点所作的插值多项式就是自己。xfnxf解由于也是满足插值条件的次数的多项式，据唯一性，知的插值多项式就是自己。解毕例设是插值基函数，.证明：。解由于是次数的多项式，它的拉格朗日插值多项式为，据唯一性，知。解毕xlknmmnkkmkxxlx0mxnxlxxLnkkmkn0mnxxLxlk_________13)1(02xlxnkkk_________113)2(02nkkklx例设是插值基函数，填空，。132x21312xx3.插值余项与误差估计•称截断误差为插值多项式的余项。xfba,1nxnfxRnnn11!1,101nnxxxxxxxba,定理设在插值区间内有阶导数，则其中:。xLxfxRnnxxKxRnn1,1txKtLtftnnttttn1,ba,,txKtLtftnnnnnn11111!11nxKtfn0!111nxKfnn!11nfxKnxnfxRnnn11!1证明设令则有n+2个零点,据罗尔定理，则有n+1个零点,有n个零点,有1个零点,设为。，，，证毕例已知xfy在如下采样点处的函数值，00.280.140.100.1jx2.14.08.00.2jy0xf2,1*x求方程在内根的近似值。解2.14.08.00.2jy00.280.140.100.1jx0.12.34.22.12.14.08.03yyyyL4.10.22.12.12.14.00.2yyy则0.28.00.22.34.08.00.2yyy8.18.02.14.22.18.00.2yyy3201302.003125.03271.0675.1yyy675.10*3Lx解毕(反插值法)例已知插值节点x0x1x2，证明当x2x1=x1x0=h时，二次插值多项式的误差界为:|)(|max273|)()(|max202032xfhxLxfxxxxxx2.5.埃尔米特插值•在插值节点上不仅要求函数值相等，而且要求导数值甚至高阶导数值也相等，满足这种条件的插值多项式称为埃尔米特插值多项式.例如：10xxx10yyy10yyy4个条件决定了插值多项式xH3是3次多项式且有4个都是3次多项式的插值基函数。仅有两个互异节点x0,x1，插值条件为,)(3iiyxH,)(3iiyxH1,0i的三次Hermite插值公式为3)(xH其中,))(21()(21010100xxxxxxxxx,))(21()(20101011xxxxxxxxx210100))(()(xxxxxxx201011))(()(xxxxxxx00)(yαx11)(yαx11)(yβx00)(yβx3)(xH00)(yαx11)(yαx11)(y′βx00)(y′βx插值基函数xxxx1010,,,的求法01010xxx0002100xxBxxAx其中210001xxBx2101xxB102102xxBxxAxxAx102100020xxBxxAx3101022xxxxBA满足:x022101010012xxxxxxxxx22010101112xxxxxxxxx满足:x110110xxx001同理:x0满足:00010xxx0102100xxxxAx102102xxxxAxxAx210001xxAx2101xxA2102100xxxxxxx同理:2012011xxxxxxx仅有两个互异节点x0,x1，插值条件为,)(3iiyxH,)(3iiyxH1,0i的三次Hermite插值公式为3)(xH其中,))(21()(21010100xxxxxxxxx,))(21()(20101011xxxxxxxxx210100))(()(xxxxxxx201011))(()(xxxxxxx00)(yαx11)(yαx11)(yβx00)(yβx3)(xH00)(yαx11)(yαx11)(y′βx00)(y′βx例设函数f(x)有四阶导数，且f(1)=0，f(1)=1，f(2)=0.693147，f(2)=0.5，用三次Hermite插值多项式H3(x)来计算f(1.5)及f(1.5)的近似值。:例yyx多项式求满足下列条件的Hermite3121010101.Hermite插值多项式的余项以两点三次Hermite插值公式为例:定理设函数f(x)在包含x0,x1的区间[a,b]内存在四阶导数,则当x[a,b]时,有)()()(33xHxfxR2120)4()()(!4)(xxxxf其中(a,b)且与x有关。Hermite插值多项式给定n+1个互异节点x0,x1,,xn，并已知),(iixfy),(iixfyni,,1,0要求构造一个多项式P(x)，满足,)(iiyxP,)(iiyxPni,,1,0nxxxxx210nyyyyy210nyyyyy210列表:22nxHn1212n22n12n1nxj1nxj),,2,1,0(nj个条件决定了插值多项式是次多项式且有个都是次多项个和个，式的插值基函数。).,,2,1,0(nj记njjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxl110110xlxxxxxjjkkjjj2121xlxxxjjj2njnjjjjjnyxyxxH00122．3牛顿插值•均差1.定义：称为关于点的一阶均差(差商),为关于点的二阶均差,000,xxxfxfxxfkkkxfkxx,0110010,,,,xxxxfxxfxxxfkkkxfkxxx,,10kxxxf,,,10112020,,,,,,kkkkkkxxxxxfxxxfxfkxxx,,,10为关于点的k阶均差。约定ixf的0阶均差。为xf关于点ix有时也记为。ixf2均差的性质性质1f(x)关于节点x0,x1,,xk的k阶均差可以表示为函数值f(x0),f(x0),,f(xk)的线性组合,即],,,[10kxxxfkjkjjjjjjjxxxxxxxxxf0110)())(()()(性质2对称性：均差与节点的排列次序无关。如],,[210xxxf],,[120xxxf],,[201xxxf],,[021xxxf],,[102xxxf],,[012x