数值分析――二分法和牛顿法

二分法和牛顿法的比较二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为)(')()(xfxfxx。牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。用二分法和牛顿法分别计算多项式024323xxx的解。该多项式的解为1、1+i和1-i，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。误差都为0.0001。编程如下二分法(erfen.m)：symsx;fun=x^3-3*x^2+4*x-2;a=-1;b=2;d=0.0001;f=inline(fun);e=b-a;k=0;whileedc=(a+b)/2;iff(a)*f(c)0b=c;elseiff(a)*f(c)0a=c;elsea=c;b=c;ende=e/2;k=k+1;endkx=(a+b)/2牛顿法(newton.m)：function[k,x,wuca]=newton()k=1;x0=0;tol=0.0001;yx1=fun(x0);yx2=fun1(x0);x1=x0-yx1/yx2;whileabs(x1-x0)tolx0=x1;yx1=fun(x0);yx2=fun1(x0);k=k+1;x1=x1-yx1/yx2;endkx=x1wuca=abs(x1-x0)/2endfunctiony1=fun(x)y1=x^3-3*x^2+4*x-2;endfunctiony2=fun1(x)y2=3*x^2-6*x+4;end分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。