数值分析上机指导书

《数值分析》上机指导书曾繁慧编著辽宁工程技术大学理学院目录MATLAB平台简介........................................................................................................................4实验1数值计算误差与MATLAB语言......................................................................................4实验2非线性方程与MATLAB应用..........................................................................................5实验3线性方程组与MATLAB应用..........................................................................................6实验4插值法与MATLAB应用..................................................................................................8实验5函数逼近与MATLAB应用..............................................................................................4实验6数值微积分与MATLAB应用..........................................................................................6实验7常微分方程与MATLAB应用..........................................................................................7MATLAB平台简介MATLAB名字由MATrix和LABoratory两词的前三个字母组合而成。那是20世纪七十年代后期的事：时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的CleveMoler教授出于减轻学生编程负担的动机，为学生设计了一组调用LINPACK和EISPACK库程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN编写的萌芽状态的MATLAB。经几年的校际流传，在Little的推动下，由Little、Moler、SteveBangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市场。从这时起，MATLAB的内核采用C语言编写，而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功能。MATLAB以商品形式出现后，仅短短几年，就以其良好的开放性和运行的可靠性，使原先控制领域里的封闭式软件包（如英国的UMIST，瑞典的LUND和SIMNON，德国的KEDDC）纷纷淘汰，而改以MATLAB为平台加以重建。在时间进入20世纪九十年代的时候，MATLAB已经成为国际控制界公认的标准计算软件。到九十年代初期，在国际上30几个数学类科技应用软件中，MATLAB在数值计算方面独占鳌头，而Mathematica和Maple则分居符号计算软件的前两名。Mathcad因其提供计算、图形、文字处理的统一环境而深受中学生欢迎。在欧美大学里，诸如应用代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把MATLAB作为内容。MATLAB是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本工具。在国际学术界，MATLAB已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。在许多国际一流学术刊物上，（尤其是信息科学刊物），都可以看到MATLAB的应用。在设计研究单位和工业部门，MATLAB被认作进行高效研究、开发的首选软件工具。如美国NationalInstruments公司信号测量、分析软件LabVIEW，Cadence公司信号和通信分析设计软件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB为主要支撑。又如HP公司的VXI硬件，TM公司的DSP，Gage公司的各种硬卡、仪器等都接受MATLAB的支持。MATLAB的一些功能如下：MATLAB拥有世界一流水平的数值计算函数库。MATLAB自问世起，就抱定一个宗旨：其所有数值计算算法都必须是国际公认的、最先进的、可靠算法；其程序由世界一流专家编制，并经高度优化；而执行算法的指令形式则必须简单、易读易用。MATLAB正是仰赖这些高质量的数值计算函数赢得了声誉。MATLAB数值计算函数库的另一个特点是其内容的基础性和通用性。它正由于这一特点，而适应了诸如自动控制、信号处理、动力工程、电力系统等应用学科的需要，并进而开发出一系列应用工具包。MATLAB的图形可视能力在所有数学软件中是首屈一指的。MATLAB的图形系统有高层和低层两个部分组成。高层指令友善、简便；低层指令细腻、丰富、灵活。一般说来，不管二元函数多么复杂，它的三维图形，仅需10条左右指令，就能得到富于感染力的表现。数据和函数的图形可视手段包括：线的勾画、色图使用、浓谈处理、视角选择、透视和裁剪。MATLAB有比较完备的图形标识指令，它们可标注：图名、轴名、解释文字和绘画图例。MATLAB的图形用户界面(GUI)以其友好性和直观易懂性在软件编程上被广泛使用。开发一个GUI程序的过程主要有：布局好图形用户界面对象和给这个图形用户界面编写代码。具体的开发步骤：GUI界面的设计和布局、GUI的编程、菜单的设计和布局以及菜单的编程。MATLAB的控制仿真功能SIMULINK。这是一个交互式操作的动态系统建模、仿真、分析集成环境。它的出现使人们有可能考虑许多以前不得不做简化假设的非线性因素、随机因素，从而大大提高了人们对非线性、随机动态系统的认知能力。MATLAB开发了与外部进行直接数据交换的组件，打通了MATLAB进行实时数据分析、处理和硬件开发的道路。MATLAB的符号计算工具箱。1993年MathWorks公司从加拿大滑铁卢大学购得Maple的使用权，以Maple为“引擎”开发了SymbolicMathToolbox1.0。MathWorks公司此举加快结束了国际上数值计算、符号计算孰优孰劣的长期争论，促成了两种计算的互补发展新时代。MATLAB的Notebook功能。MathWorks公司瞄准应用范围最广的Word，运用DDE和OLE，实现了MATLAB与Word的无缝连接，从而为专业科技工作者创造了融科学计算、图形可视、文字处理于一体的高水准环境。影像处理也是MATLAB最主要的特色与功能之一。影像是指经过摄影而获得的像。影像处理的科学定义是：使用计算机将数字影像信息进行数字化，并进一步予以分析、加强、编码、解译、分割、辨识、复原、强化、缩放、着色等及与之相关的技术。事实上MATLAB几乎可以设计与处理所有的影像处理方面的问题。它不但可以生成各种各样的影像，而且处理起来具有更高的理论层次水平。比如对一幅影像它可以取出该影像的外缘，而舍弃其它部分不要，它还可以对该影像进行傅立叶分析与处理把影像处理在频域内进行。数字信号的处理。MATLAB对数字信号进行基本处理，包括进行快速傅立叶变换、求信号的功率谱和滤波等，从被处理的信号中获得我们想要的信息。MATLAB的神经网络功能。神经网络这门学科是受了人脑这部高度智能、发达的“机器”的启发，而逐渐发展起来的一门前沿技术科学。神经网络的优势在于它的学习性和自动调整性，所以非常适合于处理非线性的问题。它被广泛应用于各行各业上，例如语音识别、实时语言翻译、目标的跟踪和识别、工业方面的过程控制等等。神经网络无论是工业应用还是科学研究都是一个有力的工具，有着巨大的潜力。它的应用主要是偏重于特征的提取、过程的控制和状态的预测。实验1数值计算误差与MATLAB语言要求：掌握MATLAB语言，理解误差与数值稳定性。1．实验目的：掌握MATLAB语言的程序设计。实验内容：对以下问题，编写M文件。（1）用起泡法对10个数由小到大排序。即将相邻两个数比较，将小的调到前头。（2）有一个4×5矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。（3）编程求201!nn。（4）一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹有多高？（5）有一函数yxyxyxf2sin),(2，写一程序，输入自变量的值，输出函数值。2．实验目的：掌握MATLAB语言的图形绘制。实验内容：（1）在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。并且1）在图形上加格栅、图例和标注；2）定制坐标；3）以不同角度观察马鞍面。（2）以不同的视角观察球面2222rzyx和圆柱面rxyx22所围区域。3．实验目的：理解算法的数值稳定性。实验内容：对于积分101),1,0(ndxexeIxnn，有下面两个算法。算法1：1016321.0nnnIII，),2,1(n；算法2：)1(10684.01nnnInII，)1,,8,9(n。数值对比说明舍入误差与算法的数值稳定性的关系。实验2非线性方程与MATLAB应用要求：理解非线性方程数值求解思想，掌握常用算法的设计，掌握用MATLAB实现的数值解法。1.实验目的：比较不同方法的计算量。实验内容：比较求0210xex的根到三位小数所需的计算量：（1）在区间［0,1］内用二分法；（2）用迭代法10/)2(1kxkex，取初值00x；（3）用牛顿迭代法，取初值00x。2.实验目的：研究不同的初值对牛顿迭代过程的影响。实验内容：用牛顿法求方程013xx在区间]3,3[上误差不大于510的根。分别取初值5.10x、00x、10x进行计算，比较它们的迭代次数。3.实验目的：研究迭代法的收敛性与收敛速度。实验内容：1225年，达·芬奇研究了方程02010223xxx并得到它的一个根368808107.1*x。没有人知道他用什么方法得到的。分别对上述方程建立迭代法（1）,2,1,01022021kxxxkkk；（2）,2,1,010220321kxxxkkk。分别研究这两个迭代法的收敛性、收敛速度以及用斯蒂芬森加速的可能性。通过数值计算加以比较，请自行设计一种比较形象的记录方式，如利用MATLAB的图形功能。4.实验目的：研究一般迭代公式的复杂行为，初步看到混沌现象。实验内容：考虑迭代公式,2,1,0)1(1kxxxkkk。取]4,2.0[中不同的值，并取)1,0(0x进行迭代，画出不同情况下的)50(kxk的图形，并分析取值与kx图形的关系。你将对于迭代法有更深刻的理解。实验3线性方程组与MATLAB应用要求：理解线性方程组直接法与迭代法思想，掌握常用算法的设计，掌握用MATLAB实现的数值解法。1．实验目的：理解矩阵的范数与条件数。实验内容：已知矩阵1111111111111111A求1A，2A，A和)(2Acond。2．实验目的：研究高斯消去法的数值稳定性（出现小主元）。实验内容：设方程组bAx，其中（1）11212592.1121130.6291.51314.59103.0151A，2178.4617.591b（2）201015152699990999999999.23107102A，1500019000000000.582b分别对以上两个方程组（1）计算矩阵的条件数，判断系数