分部积分法

分部积分法由函数乘积的微分公式，)(d)d()d(vuuvuv移项得，)d()d()(duvuvvu(1)dduvuvvu对上式两端同时积分，得公式(1)或公式(2)称为分部积分公式.(2)ddxu'vuvxuv'或例1求.dsinxxxcosdddsind，则，，则，令xvxuxxvxu解xxxxxxxd)cos(cosdsin.sincosCxxxxxxxdcoscos注意：1.使用分部积分公式由求v时，v不必添加常数C.vd2.使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择和u.vd例2求.dtanarcxxx解ddarctan，，令xxvxuxxxxxxxxd112arctan21darctan222d)111(21arctan2122xxxx.arctan212arctan212Cxxxx2d11d22，则，则xxvxu.de2xxx例3求d2dddee2xxvxxuxvux，，则，令解]d[2deeee22xxxxxxxxx则ddeee22xxxxxxxx则eeddddxxvxuxvxu，，则，令继续使用分部积分法.)22(2222eeeeCxCxxxxxxx.dln4xxx例4求)5(dlndln54xxxxx解xxxxd51ln545.25ln555Cxxx.dcosexxx例5求)(dcosdcoseexxxxx解xxxxxdsincosee)(dsincoseexxxxxxxxxxxdcossincoseee,dcossincosdcoseeeexxxxxxxxxx－这样便出现了循环公式,sincosdcos21eeeCxxxxxxx移项得).2()sin(cos2dcos1eeCCCxxxxxxCxxxxxx)cos(sin2dsinee类似地，有.d,dedcosdsin.1vxuxxxkxxxkxxnkxnnn余下的为令的不定积分，，，形如.,dddarcsin,darctan,dln.2uxxvxxxxxxxxxnnnn余下的为定积分，令的不形如一般情况下，u与dv按以下规律选择.d,ddcose,dsine.3应保持一致和部积分公式，两次选择因为要使用两次分，但应注意和任意选择的不定积分，可以形如vuvuxbxxbxaxax例6求.dlnxx)ln(dlndlnxxxxxx解.lndlnCxxxxxx例7求.dsinarcxx)arcsin(darcsindarcsinxxxxxx解xxxxxd1arcsin2.)1ln(21arctandarctan2Cxxxxx类似地，有.1arcsin2Cxxx例8求.dcosxx，有，，则令ttxxtxtd2d2解dsindcostttttdcos2dcostttxxcossin2dcos1Ctttxx于是，Cttt1cossindtsinsinttt).2C(cos2sin21CCxxx其中例9.d1arctan2xxxx求解法一于是有，令,dsecd,tanarctan2ttxtxtxtttttxxxxdsectan1tand1arctan222ttttdsectan)d(secttttttdsecsec1|tansec|lnsecCtttt.|1|lntanarc122Cxxxx解法二221darctand1arctanxxxxxxxxxxarctand1arctan122xxxxxd111arctan1222xxxxd11arctan122.|1|lntanarc122Cxxxx