圆的一般方程练习题

课时作业23圆的一般方程(限时：10分钟)1．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为()A．－2或2B.12或32C．2或0D．－2或0解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离|1－2＋a|12＋－12＝22，解得a＝0或2.答案：C2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：圆心为a，－32b，则有a0，b0.直线x＋ay＋b＝0变为y＝－1ax－ba.由于斜率－1a0，在y轴上截距－ba0，故直线不经过第四象限．答案：D3．直线y＝2x＋b恰好平分圆x2＋y2＋2x－4y＝0，则b的值为()A．0B．2C．4D．1解析：由题意可知，直线y＝2x＋b过圆心(－1,2)，∴2＝2×(－1)＋b，b＝4.答案：C4．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，kCM＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.答案：x－y－3＝0x＋y－3＝05．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为－D2，－E2，由题意得42＋72＋4D＋7E＋F＝0，－32＋62－3D＋6E＋F＝0，2·－D2＋－E2－5＝0.即4D＋7E＋F＝－65，3D－6E－F＝45，2D＋E＝－10，解得D＝－2，E＝－6，F＝－15.所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0.(限时：30分钟)1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A．(2，－3)；16B．(－2,3)；4C．(4，－6)；16D．(2，－3)；4解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4.答案：B2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是()A.14m1B．m1C．m14D．m1解析：由42＋(－2)2－4×5m0解得m1.答案：D3．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别是2和3的圆的方程为()A．x2＋y2－2x－3y＝0B．x2＋y2＋2x－3y＝0C．x2＋y2－2x＋3y＝0D．x2＋y2＋2x＋3y＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A，B两点坐标代入四个选项，只有A完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则F＝0，2D＋F＝－4，3E＋F＝－9，解得D＝－2，E＝－3，F＝0，故方程为x2＋y2－2x－3y＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB所对的圆心角为90°，知线段AB为圆的直径，即所求的圆是以AB中点1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y－322＝1322，化为一般式得x2＋y2－2x－3y＝0.答案：A4．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0a1，则原点()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0a1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)20，即0＋a2＋0＋122a，所以原点在圆外．答案：B5．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16解析：设M(x，y)，则M满足x－82＋y2＝2x－22＋y2，整理得x2＋y2＝16.答案：B6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________解析：由题意可得圆C的圆心－1，－a2在直线x－y＋2＝0上，将－1，－a2代入直线方程得－1－－a2＋2＝0，解得a＝－2.答案：－27．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是________．解析：关键是搞清式子x2＋y2的意义．实数x，y满足方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，所以(x，y)为方程所表示的曲线上的动点，x2＋y2＝x－02＋y－02，表示动点(x，y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示以C(－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值．|CO|＝－22＋12＝5，|MO|＝5＋3.答案：5＋38．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．解析：设M的坐标为(x，y)，由题意可知圆心A为(2，－1)，P(2x－2,2y＋1)在圆上，故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝09．设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．解析：(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2,0)，半径为r＝3.(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP⊥AB，∴kCP·k＝－1.∴kCP＝1－03－2＝1，∴k＝－1.∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.10．已知定点O(0,0)，A(3,0)，动点P到定点O的距离与到定点A的距离的比值是1λ，求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．解析：设动点P的坐标为(x，y)，则由λ|PO|＝|PA|，得λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2，整理得：(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0.∵λ0，∴当λ＝1时，方程可化为2x－3＝0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为x＋3λ－12＋y2＝3λλ－12，即方程表示的曲线是以－3λ－1，0为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．