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第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式[学习目标]1.理解组合及组合数的概念(重点).2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题(重点、难点).1.组合的概念(1)组合:一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cmn表示.温馨提示注意组合与排列的区别与联系.2.组合数公式与组合数的性质(1)组合数公式:①Cmn=AmnAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!.②Cmn=n!m!(n-m)!.(2)组合数的性质:①Cmn=______;②Cmn+1=_________.规定:C0n=1.Cn-mnCmn+Cm-1n温馨提示1.组合数公式可由排列数公式表示,注意公式的结构;2.组合数公式在n,m∈N*,且m≤n时成立,在m>n时不成立.1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘,可得C24个不同的积.()(3)C25=5×4=20.()(4)C20162017=C12017=2017.()解析:(1)对.因为只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.(2)对,根据组合数的定义知说法正确.(3)错,C25=5×42×1=10.(4)对,根据组合数的性质知等式成立.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√2.下列计算结果为21的是()A.A24+C26B.C77C.A27D.C27解析:C27=7×62×1=21.答案:D3.下面几个问题中属于组合问题的是________.①由1,2,3,4构成的双元素集合;②由1,2,3构成两位数的方法;③由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法.解析:①中选出的两个元素构成集合,与顺序无关,是组合问题;②和③中的问题是排列问题.答案:①4.甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间的距离均不相等,则车票票价的种数是________.解析:甲、乙、丙三地之间的距离不等,故票价不同,同距离两地票价相同,故该问题为组合问题,不同票价的种数为C23=3×22=3.答案:35.方程Cx14=C2x-414的解为________.解析:由题意知x=2x-4,2x-4≤14,x≤14或x=14-(2x-4),2x-4≤14,x≤14,解得x=4或x=6.答案:4或6类型1组合的概念(自主研析)[典例1](1)判断下列各事件是排列问题还是组合问题.①10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次?②10支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能?③从10个人里选3个代表去开会,有多少种选法?(2)从5个不同的元素a,b,c,d,e中取出2个,写出所有不同的组合.(1)解:①是组合问题,因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别.②是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的,是有顺序的区别.③是组合问题,因为3个代表之间没有顺序的区别.(2)要想写出所有组合,就要先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来,如图所示:由此可得所有的组合为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.归纳升华1.区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合问题.2.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来.[变式训练]给出下列问题:(1)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?(2)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法?(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场?(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?(5)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种?(6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪中恰有3枪连中,不同的结果有多少种?在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?解:(1)两名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.(2)两名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.(4)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.(5)命中的4枪均为2枪连中,为相同的元素,没有顺序,是组合问题.(6)命中的4枪中恰有3枪连中,即连中3枪和单中1枪,有顺序,是排列问题.类型2组合数的计算[典例2](1)计算:C9799+C9899+C99100=________;(2)求值:C5-nn+C9-nn+1=________;(3)解不等式C4nC6n.解析:(1)C9799+C9899+C99100=C98100+C99100=C99101=C2101=101×1002×1=5050.(2)由组合数定义知:0≤5-n≤n,0≤9-n≤n+1,得4≤n≤5.又n∈N*,所以n=4或n=5.当n=4时,C5-nn+C9-nn+1=C14+C55=5;当n=5时,C5-nn+C9-nn+1=C05+C46=16.答案:(1)5050(2)5或16解:(3)由C4nC6n,得n!4!(n-4)!n!6!(n-6)!,n≥6⇒n2-9n-100,n≥6⇒-1n10,n≥6.又n∈N*,所以该不等式的解集为{6,7,8,9}.归纳升华1.涉及具体数字的可以直接用公式Cmn=AmnAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!计算.2.涉及字母的可以用阶乘式Cmn=n!m!(n-m)!计算.3.计算时应注意利用组合数的性质Cmn=Cn-mn简化运算.[变式训练](1)计算:C410-C37A33=________;(2)方程C3n+618=C4n-218的解集是________.解析:(1)原式=C410-A37=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.(2)由原方程及组合数性质可知3n+6=4n-2或3n+6=18-(4n-2),所以n=2或n=8.而当n=8时,3n+6=30>18,不符合组合数定义,故舍去.因此n=2.答案:(1)0(2){2}类型3简单的组合问题[典例3]某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?解:(1)分步计算.首先从4名外科专家中任选2名,有C24种选法,再从除外科专家的6人中选取4人,有C46种选法,所以抽调方法共有C24·C46=90(种).(2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法.法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类:①选2名外科专家,共有C24C46种选法;②选3名外科专家,共有C34C36种选法;③选4名外科专家,共有C44C26种选法.根据分类加法计数原理得,抽调方法共有C24C46+C34C36+C44C26=185(种).法二(间接法)不考虑是否有外科专家,共有C610种选法,考虑选取1名外科专家参加,有C14C56种选法;没有外科专家参加,有C66种选法,所以抽调方法共有C610-C14C56-C66=185(种).(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况,分类解答.①没有外科专家参加,有C66种选法;②有1名外科专家参加,有C14C56种选法;③有2名外科专家参加,有C24C46种选法.所以抽调方法共有C66+C14C56+C24C46=115(种).归纳升华解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法).其中用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看解答过程是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.[变式训练]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?解:(1)从口袋的8个球中取出3个球,取法种数是C38=8×7×63×2×1=56.即从口袋内取出3个球,共有56种取法.(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,取法种数是C27=7×62×1=21.故取出含有1个黑球的3个球,共有21种取法.(3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是C37=7×6×53×2×1=35.取出不含黑球的3个球,共有35种取法.1.组合的概念.组合的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“合成一组”,“合成一组”即表示与顺序无关.若两个组合中的元素完全相同,不管它们是顺序如何都是相同的组合;若两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),则是不同的组合.2.组合与排列问题的异同.组合与排列问题的共同点是都要“从n个不同元素中,任取m个元素”;不同点是前者是“不管顺序合成一组”,而后都者要“按照一定顺序排成一列”.3.组合数、组合数、组合数公式及组合数性质.(1)“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,它是一个数.(2)当m,n数值较大时或要对含有字母的组合数式进行变形论证时,利用公式Cmn=n!m!(n-m)!解题较方便.(3)计算组合数时,特别是m较大时,注意利用公式Cmn=Cn-mn进行转化.
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