第八章z变换

本章的主要内容z变换定义、典型序列的z变换z变换的收敛域逆z变换z变换的基本性质z变换与拉氏变换的关系利用z变换解差分方程离散系统的系统函数序列的傅里叶变换第一节引言一、Z变换方法的发展历史1730年，英国数学家棣莫弗（DeMoivre1667-1754)将生成函数（generationfunction)的概念引入概率理论中。19世纪拉普拉斯（P.S.Laplace)至20世纪的沙尔（H.L.Seal)等人贡献。20世纪50，60年代z变换成为重要的数学工具。z变换的地位与作用：类似于连续系统中的拉普拉斯变换。二、z变换的引入借助于抽样信号的拉氏变换引出。连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)的表示式为：0()()()()()sTnxtxttxnTtnT两边取拉氏变换000()()()()ststssnXsxtedtxnTtnTedtz变换的引入积分与求和的次序对调sTze引入一个新的复变量z000()()()()stsnnTsnXsxnTtnTedtxnTe100()()()()TnnnnXzxnTzXzxnz令第二节Z变换定义、典型序列的z变换一、Z变换定义Z变换定义Z序列的变换：　-nZx(n)x(n)zn双边变换X(z)=Z-0nZx(n)x(n)znX(则其单边变换z)=Zx(n)设某序列为　ZZZ：非因果序列也有一定应用，着重单边变换分析同时适当兼顾双边变换变换的应用分析。　ssejz其中复变量,；-1x(n)z也称的，X(z是的幂级数或生成函数)洛朗级数Z变换定义二、典型序列的Z变换()2un单位阶跃序列　()3nun　斜变序列　)1(n　单位样值序列　1Z1,1zz　zZ21,1zz　zZn0()n1n0()un1()naun4单边指数序列　0sin(5)nun单边正弦序列　0020012sin2cos1,1jjzzjzezezzzzZzzaZ典型序列的Z变换0cos(6)nun单边余弦序列　0002012(cos)21cos,1jjzzzezezzzzzZ典型序列的Z变换第三节Z变换的收敛域一、Z变换的收敛域收敛域(ROC:regionofconvergence)：收敛域的说明：变换中序列与变换式、收敛域对应；变换中序列与变换式、收敛域双边不唯单边唯一一对应。x(n),zz对任意给定的有界序列使级数收敛其变换定义式的所有值集合级数收敛的充分条件：,limnnn=-n+1n比值判定法(a1)：设一个正项级数a令a其11则当时，级数收敛；当时，级数发散。-nn=-x(n)zZ变换的收敛域,limnnn=nn-(2)：设一个正项级数a令根值a判定法其11则当时，级数收敛；当时，级数发散。p.528-1（常用序列的收敛域参见表）Z变换的收敛域举例8.1()xn解：为双边序列()()(1),,0,znnxnaunbunbaab已知序例、求其变换并确定其收敛域-n0Zx(n)zn若求单边变换X(z)=nn00()(1)nnnnaunzbunzX(z)=n0nnaz=z当za时，X(z)=z-aa8.1收敛域为以零点为圆心、为半径的园外部分（如例图所示）举例8.10jIm(z)Re(z)a图8.1序列单边Z变换的收敛域-nZx(n)zn若求双边变换X(z)=nn()(1)nnnnaunzbunzX(z)=1nn0nnnnazbz=n001nnnnnazbz=举例8.1zz当azb时，X(z)=z-az-b8.2收敛域为以零点为圆心、内/外半径a/b的园环形（如例图所示）举例8.10jIm(z)Re(z)a图8.2序列双边Z变换的收敛域b二、几类序列的Z变换收敛域1、有限长序列此序列只在有限的区间(n1nn2)具有非零的有限值，此时，Z变换为：1）n10,n20时，除z=及z=0外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：21-nx(n)znnnX(z)=0z几类序列的Z变换收敛域2）n10,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：z3）n10,n20时，除z=0外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：0z所以，有限长序列的z变换收敛域至少为：0z且有可能包括z=或z=0点。几类序列的Z变换收敛域2、右边序列此序列是有始无终的序列，即当(nn1时x(n)=0),此序列的Z变换为：1-nx(n)znnX(z)=1limlimnxnR-nnn根据根值判别法:x(n)z1即:zx(n)几类序列的Z变换收敛域看出：11xxRR则该级数收敛.其中是级数的z收敛半径.可见：右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。1xRz1）如果n10，则收敛域包括z=。即收敛域为2）如果n10，则收敛域不包括z=。即收敛域为1xRz3）如果n1=0，则右边序列变成因果序列，即因果序列是右边序列的一种特殊情况，其收敛域为：1xRz几类序列的Z变换收敛域3、左边序列此序列是无始有终的序列，即当(nn2时,x(n)=0),此序列的Z变换为：2-nx(n)znnX(z)=22xxRR其收敛域为:则该级数收敛.其中是级数z的收敛半径.几类序列的Z变换收敛域2-nx(n)znn推导:X(z)=2lim1limnxnR22mnm=-nn=-nnnn若令m=-n,上式变为:X(z)=x(-m)z即X(z)=x(-n)z根据根值判别法:x(-n)z1即:zx(-n)几类序列的Z变换收敛域2xR可见,左边序列的收敛域是半径为的圆内部分.20xRz1）如果n20，则收敛域不包括z=0。即收敛域为2）如果n20，则收敛域包括z=0。即收敛域为2xRz2xRz几类序列的Z变换收敛域4、双边序列双边序列是从n=-延伸到n=+的序列，此序列的Z变换为：1-n-n-n0x(n)zx(n)zx(n)znnnX(z)=双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。几类序列的Z变换收敛域2xRx1可见,双边序列的收敛域是以半径为R和之间的圆环部分.2112120,xxxxxxRRRRRR其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分.则该级数收敛.其中z.作业P1038-1，8-2，8-3，8-12第四节逆z变换一、逆Z变换Z逆变换定义：Cn-1其中是包围所有极点的逆时针X(z)z闭合路线x(n)zs设某序列　X(z)，z=e111x(n)=2jnCzdz则X(z)　X(z)Z1)：借助复变函数的围线积分法留数定理Cmmzn-1n-1m其中为X(z)z在内的极点；zRe为X(z)z在s]z[的留数。11x(n)=mnzmzReszX(z)　X(z)Z逆Z变换二、求逆Z变换方法11111[()()](1)!mzzsnsnmsdzzzXzzssdzReX(z)sn-1m如果X(z)z在z=z处有阶极点,此时它的留数为:举例8.222(),1,z1.50.5zXzzzz已知求其逆变换xn2()10.5zXzzz解：（一阶极点）10.5zz在和处有一阶极点,可求得:11Re210.5nzzszz举例8.210.5Re(0.5)10.5nnzzszz由此写出()[2(0.5)]()nxnun0.50.51,z?zz若或求其逆变换xn()[2(0.5)](1)nxnun0.5z时,0.51,z时()2(1)(0.5)()nxnunun幂级数展开法2)（长除法）：-1-2(0)(1)(2)(0)(z1)(2z+)++xnxxxxxx展开收敛域内构成X(z)　其中逆Z变换x1x2N(z)X(z)=D(z)若收敛域是zR,N(z),D(z)按z的降幂排列若收敛域是zR,N(z),D(z)按z的升幂排列再用长除法,便可得到x(n).举例8.32(),1,z(1)zXzzz已知求其逆变换xn221111212123232224232363zzzzzzzzzzzzzzzz-1-2-3解：举例8.31230()23nnXzzzznz得到:x(n)=nu(n)112111()12zzzXzzz另:和情况下,的逆变换xn部分分式3)展开法：Nz设X(z数)=有理DzXXz=Rzkrz对因果序列z为的收敛域，需保证在处收敛。111111rrrrkkkkbbzbzbzaazazaz00=逆Z变换则（1）当X(z)仅含一阶极点时mmm=0Az-zk部分分式展开先XzzzXzzm一其中为的阶极点，zzXzzmmmz=A=z-逆Z变换mm=0mAz-zkz再Xz查表p.60====每个分式对应的序列举例8.522(),1,z1.50.5zXzzzz已知求其逆变换xn2()10.5zXzzz解：（一阶级点）12()10.5XzAAzzz先10.52;1XzzXzz1z=2z=其中A=z-1A=z-0.52()10.5zzXzzz1,z即xn为因果序列unnxn=2-0.5举例8.5作业P1038-4，8-5，8-6第五节z变换的基本性质一、Z变换的基本性质１线性性：1212()()()()(),),,)yybnynXzYzRzaRRaRb1x12x2则x其中:R=max(RR=min(RZ()())()())nXznYzx1x2y1y2若x(RzRy(RzRZZ注：如果线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。举例8.6()(1)nnaunaunz求序列的变换.()()(1)()zzzunzazaaunzazann解：已知x(n)=ay(n)=a()(1)1zununnnx(n)=aa线性叠加后，序列的z变换收敛域扩大到全平面。举例8.70()cosh()()zxnnun已知双曲余弦序列求其变换0001cosh2nnnee解：000000(),;(),nznzzunzzzunzzeeeeee00011cosh()()()22nnnunununee000002011()22sinh2cosh1max(,)zzXzzzzzzzeeee线性性举例8.7Z变换的基本性质()()nXz双边若xZ2时域平移性：()()mmznXz双边则xZ()()(),()nunXzxn单边若x为双边序列Z10()())()(mmkknunXzmzxkz单边则xZ1()())()(mkkmnunXzmzxkz单边xZ21()()()2(1)(2)zzxxnunX