线面垂直习题精选

习题精选精讲线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1如图1，在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC∴DB⊥1AO．设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM．∵OM∩DB=O，∴1AO⊥平面MBD．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻求线面垂直2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD，，于EFG，，．求证：AESB，AGSD．证明：∵SA平面ABCD，∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．∵ADBD，∴DFAB．又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴AH平面BCD．习题精选精讲评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC．∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BDADBOC证明：过A作AO⊥平面BCD于OABCDCDBO，同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心于是BDCOBDAC7.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1DCAB证明：连结ACBDACAC为A1C在平面AC上的射影BDACACBCACBCD11111同理可证平面8.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNABPNDCABM.证：取PD中点E，则ENDC//12习题精选精讲PENDCABMENAM//AEMN//又平面平面平面CDADPAACCDPADAEPADCDAECDABAEMNMNAB////9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a，则ED=2a由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC10如图,在空间四边形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。求证:①ANBC;②SC平面ANM分析:①要证ANBC,转证,BC平面SAB。②要证SC平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SCAM,SCAN。要证SCAN,转证AN平面SBC,就可以了。证明:①∵SA平面ABC∴SABC又∵BCAB,且ABSA=A∴BC平面SAB∵AN平面SAB∴ANBC②∵ANBC,ANSB,且SBBC=B∴AN平面SBC∵SCC平面SBC∴ANSC又∵AMSC,且AMAN=A∴SC平面ANM11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求证：平面ABC⊥平面PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明：取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=aBC=2a∴PD=22a在ΔABC中AD=22BDABABCDFEGA'习题精选精讲=22a∵AD2+PD2=222222aa=a2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC∴AD⊥平面PBC∴平面ABC⊥平面PBC13以AB为直径的圆在平面内，PA于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。ABCPEF解：PCAFBCAFPACAFPACBCBCACABBCPABCPA面面为直径PBPBAEPBAFPBCAF面面AEF［例1］如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．【证明】∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=22a，AO2=AC2－OC2=a2－21a2=21a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法．［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．图9—40（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小．（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．（2）【解】∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角，∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a，作AE⊥SC于E，连EH，则EH⊥SC，∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，而AH=22a，AC=2a，SC=3a，AE=36a∴sin∠AEH=23，二面角A—SC—B为60°．【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．习题精选精讲［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN21CDAM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．图9—42（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．（1）【证明】∵M、N、E是中点，∴MCNCNBEB1111∴45MNCENB11∴90MNE即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，11CAMN平面∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=22a，NH=33a，∴tan∠MHN=26NHMN，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为26．［例5］在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长为3，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C．【证明】如图9—43，∵E、F分别是AB1、CB1的中点，图9—43∴EF∥AC．∵AB1=CB1，O为AC的中点．∴B1O⊥AC．故B1O⊥EF．在Rt△B1BO中，∵BB1=3，BO=1．习题精选精讲∴∠BB1O=30°，从而∠OB1D1=60°，又B1D1=2，B1O1=21OB1=1（O1为BO与EF的交点）∴△D1B1O1是直角三角形，即B1O⊥D1O1，∴B1O⊥平面D1EF．又B1O平面AB1C，∴平面D1EF⊥平面AB1C．1．棱长都是2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____．【解】过A1作A1G⊥C1D1于G，由于该平行六面体是直平行六面体，∴A1G⊥平面D1C，连结CG，∠A1CG即为A1C与侧面DCC1D1所成的角．∵A1G=A1D1·sin∠A1D1G=2sin60°=2·23=3而AC=120cos222BCABBCAB=32)21(2222222∴A1C=4124221ACAA