现代控制理论知识点汇总

第一章控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式n阶DuCxyBuAxx1:ru1:mynnA:rnB:nmC:rmD:A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。②状态方程和输出方程都是运动方程。③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。④状态变量的选择不唯一。⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。⑥建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。４．状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作ix，输入则为ix；c由模拟图写出状态方程和输出方程。②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。熟练使用梅森公式。注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量ip的求解：也就是求0)(xAIi的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设３阶系统，1＝2，3为单根，对特征矢量1p，3p求法与前面相同，2p称作1的广义特征矢量，应满足121)(ppAI。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。6．由状态空间表达式求传递函数阵)(sWDBAsICsW1)()(rm的矩阵函数［ijW］ijW表示第j个输入对第i个输出的传递关系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(sW是不变的。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(sW。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。7．离散系统的状态空间表达式及实现（模拟结构图）DukCxkyHukGxkx)()()()1(8．时变系统：四个矩阵是时间t有关的。非线性系统：各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。利用泰勒级数可以线性化。第二章控制系统状态空间表达式的解一．线性定常系统齐次状态方程（Axx）的解：0)(xetxAt二．矩阵指数函数——状态转移矩阵1．Atet)(表示)0(x到)(tx的转移。5个基本性质。2．Ate的计算：a定义；b变换为约旦标准型ATTJ1)(或,11TTeTTeeJttAt或c用拉氏反变换])[(11AsILeAt记忆常用的拉氏变换对2222212cos;sin;)(1;!;1;1;1)(1;1)(sststastesntaseststtatnnatd应用凯莱-哈密顿定理三．线性定常系统非齐次方程（BuAxx）的解：dButxttxt)()()0()()(0。可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求Atet)(，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。四．线性时变系统的解１．状态转移矩阵用),(0tt来表示。２．),(0tt的计算：当)()()()(00tAdAdAtAtttt时，])(exp[),(00dAtttt；通常不等。不满足乘法可交换条件时，一般采用级数近似法：010100000)()()(),(ddAAdAIttttttt３．解为：duBttxtttxtt)()(),()(),()(000五．离散时间系统状态方程的解（递推法和Z变换法）１．递推法kGk)(为状态转移矩阵；满足IkGk)0();()1(解为，djHujkxkkxdjHujkxkkxkjkj)()1()0()()()()1()0()()(1010或直接计算kGk)(有一定困难，可采用这样的步骤：先将原状态方程化为约旦标准型，求变换矩阵T，)(~)(kxTkx，再求出)(~kx，再得到)(kx。当然kk)(~，1)(~)(TkTGkk。２．Z变换法公式不用记忆，现推最好。)]()[()]0()[()(1111zHuGzIZzxGzIZkx；可见kGk)(＝11)[(GzIZz];计算)(kx的用到的内容：部分分式展开（先除z后乘z）；ZT对0;111kazzazak六．连续时间状态空间表达式的离散化１．定常系统的离散化a.DuCxyBuAxx)()()()()()()()1(kDukCxkykuTHkxTGkxATeTG)(；BdteTHTAt0)(b.近似离散化)()()()()()())1((kDukCxkykTTBukTxITATkx即TBTHITATG)(;)(２．时变系统的离散化略第三章线性控制系统的能控性和能观性一．能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换BuAxxBuTATzTz11１．若A的特征值互异，线性变换（Tzx）为对角线标准型，ATT1，能控性充要条件：BT1没有全为０的行。变换矩阵T的求法。２．若A的特征值有相同的，线性变换（Tzx）为约当标准型，ATTJ1，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的BT1中最后一行元素没有全为０的。②BT1中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为０的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T、1T、BT1。判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别BuAxx能控的充要条件是能控性判别矩阵),,,(12BABAABBMn的秩为n。在单输入系统中，M是一个nn的方阵；而多输入系统，M是一个nrn的矩阵，可通过)(TMMrankrankM三．线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换CxyAxxTCzyATzTz1１．若A的特征值互异，线性变换（Tzx）为对角线标准型，ATT1，能观性充要条件：TC中没有全为０的列。变换矩阵T的求法。２．若A的特征值有相同的，线性变换（Tzx）为约当标准型，ATTJ1，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为０的。②对应于互异特征根部分，对应的TC中各列元素没有全为０的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T、1T、TC。判别方法（二）：直接从Ａ，C判别能观性的充要条件是能观性判别矩阵1nCACACN的秩为n。在单输入系统中，N是一个nn的方阵；而多输入系统，N是一个nnm的矩阵，可通过)(TMMrankrankM四．离散时间系统的能控性与能观性)()()()()()1(kDukCxkykHukGxkx能控性充要条件),,,(12HGHGGHHMn的秩为n。能控性充要条件1nCGCGCN的秩为n。五．时变系统的能控性与能观性（与定常系统不同）１．utBxtAx)()(在],[0ftt上状态能控的充要条件是格拉姆矩阵),(0fcttW非奇异。dttttBtBttttWTTttfcf),()()(),(),(0000),(0tt与),(0tt一样么？这种方法要求先计算出状态转移矩阵，如果无法写成闭解，则失去工程意义。２．使用)()(tBtA信息))(,),(),(()(21tBtBtBtQnc，其中)()(1tBtB，)()()()(11tBtBtAtBiii如果存在某个时刻0ft，使得ntrankQfc)(，则系统在],0[ft上是状态完全能控的。３．能观性判别与能控性类似，也可以使用格拉姆矩阵),(0fottW，但工作量太大。可使用)()(tCtA信息：)()()()(21tCtCtCtRn，其中)()(1tCtC，)()()()(11tCtCtAtBiii如果存在某个时刻0ft，使得ntrankRf)(，则系统在],0[ft上是状态完全能观测的。六．能控性与能观性的对偶原理１．若TAA12，TCB12，TBC12，则),,(1111CBA与),,(2222CBA对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。２．1与2对偶，则1能控性等价于2能观性，1能观性等价于2能控性。时变系统的对偶原理？？？？七．能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。１．能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵11111ncApAppT，111],,][1,,0,0[BAAbbpn。④求11cT，计算10011bTbc，1ccTc，也可以验证是否有111ccATTA。２．能控标准Ⅱ型①判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵],,,[12bAAbbTnc。④求12cT，计算00112bTbc，2ccTc，也可以验证是否有212ccATTA。３．能观标准Ⅰ型①判别系统的能观性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵111nocAcAcT。④求1oT，计算bTbo11，0011ocTc，也可以验证是否有111ooATTA。４．能观标准Ⅱ型①判别系统的能观性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵11112,,,TAATTTno，100111ncAcAcT。④求02T，计算bTb102，10002cTc，也可以验证是否有212ooATTA。５．如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表