专题10-分段函数的研究(解析版)

专题10分段函数的研究一、题型选讲题型一、含义抽象函数的求值问题含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、(2019南京三模）若函数f(x)＝2x，x≤0f(x－2)，x＞0，则f(log23)＝．【答案】．34【解析】因为1＜2log3＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝22log3log32223224.例2：设函数cos,011,0xxfxfxx，则103f的值为_________【答案】92【解析】思路：由fx解析式可知，只有0x，才能得到具体的数值，0x时只能依靠11fxfx向0x正数进行靠拢。由此可得：107412123433333fffff，而221cos332f10932f题型二与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例3、(2019苏锡常镇调研）.已知函数f(x)＝log2（3－x），x≤0，2x－1，x0，若f(a－1)＝12，则实数a＝________．【答案】log23【解析】当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝log2(4－a)＝12，解得a＝4－2(舍)；当a－10，即a1时，f(a－1)＝2a－1－1＝12，解得a＝log23.解后反思本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想．例4、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知函数2220()20xxxfxxxx，≥，，，则不等式()()fxfx的解集为．【答案】(20)(2)，，【解析】：若0x，则22()2,()2fxxxfxxx，由()()fxfx得：22222xxxxx，故2x.若0x，则22()2,()2fxxxfxxx，由()()fxfx得：222220xxxxx，故20x.综上，不等式()()fxfx的解集为(20)(2)，，.题型三、分段函数的值域分段函数的定义域与值域——各段的并集例5、（2016苏州期末）函数f(x)＝2x，x≤0，－x2＋1，x0的值域为________．【答案】(－∞，1]【解析】思路分析先画出图像看看．分段画出f(x)的图像即可看出函数的值域为(－∞，1]．解后反思能快速画出图像的题，尽量先画图像，对于填空题非常有用．例6、(2018无锡期末）已知函数f(x)＝x2＋2x－1x2，x≤－12，log121＋x2，x－12，g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________．【答案】.(－2，0)【解析】思路分析根据条件可以将问题等价转化为关于函数y＝f(a)的值域问题，然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．由题意，存在a∈R，使得f(a)＝－g(b)，令h(b)＝－g(b)＝b2＋2b＋2.当a≤－12时，f(a)＝a2＋2a－1a2＝－1a2＋2a＋1＝－1a－12＋2，因为a≤－12，所以－2≤1a0，从而－7≤f(a)1；当a－12时，f(a)＝log121＋a2，因为a－12，所以1＋a214，从而f(a)2.综上，函数f(a)的值域是(－∞，2)．令h(b)2，即b2＋2b＋22，解得－2b0.易错警示此题的关键是问题的等价转化，设f(a)的值域为集合A，－g(b)的值域为集合B，它们的正确关系是B⊆A，而不是A⊆B.题型四分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。例7、已知函数(2)1(1)()log(1)aaxxfxxx，若()fx在,单调递增，则实数a的取值范围是_________【答案】2,3a【解析】思路：若fx在,单调增，则在R上任取12xx，均有12fxfx，在任取中就包含12,xx均在同一段取值的情况，所以可得要想在R上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201aa，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为12,xx不在同一段取值，若也满足12xx，均有12fxfx，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入1x，有左段右端，即21log103aaa综上所述可得：2,3a题型五分段函数的零点问题分段函数的零点，有时需要对新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点例8、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝12x－1，x＜1，lnxx2，x≥1，)则函数y＝|f(x)|－18的零点个数为________．【答案】4【解析】设g(x)＝lnxx2，则由g′(x)＝x－lnx·2xx4＝1－2lnxx3＝0，可得x＝e，所以g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g(e)＝12e＞18.在同一平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝18的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．易错警示答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴．例9、(2019扬州期末）已知函数f(x)＝a＋3＋4x－|x＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为________．【答案】116或－1－332【解析】解法1由f(x)＝a＋3＋4x－|x＋a|＝0，得4x＋3＝|x＋a|－a，原函数有三个零点，即可转化为函数y＝4x＋3与y＝|x＋a|－a＝x，x≥－a，－x－2a，x－a图像有且仅有三个不同的交点，设三个交点的横坐标为x1，x2，x3，且x1x2x3，易知a≠0.下面分两种情况讨论：(1)a0.如图1所示．,图1)由y＝4x＋3，y＝x，解得x2＝－1，x3＝4.又三个零点构成等差数列，则x2＝x1＋x32，得x1＝－6，则有4－6＋3＝－(－6)－2a，解得a＝116符合题意．(2)a0.如图2所示．,图2)由y＝4x＋3，y＝x，解得x3＝4，由x2＝x1＋x32，得x1－2x2＝－4；再由y＝4x＋3，y＝－x－2a，消去y，得x2＋(2a＋3)x＋4＝0(*)．由根据与系数的关系得x1＋x2＝－（2a＋3），x1x2＝4，且x1－2x2＝－4，解得x1＝－4a－103，x2＝1－2a3，即（－4a－10）（1－2a）9＝4，化简得4a2＋8a－23＝0，综上(1)(2)可得a的值为116或－1－323.解得a＝－2±332，检验方程(*)Δ(2a＋3)2－16＝4a2＋12a－70，但a0，则a＝－2－332满足题意．解法2因为f(x)＝x＋4x＋3＋2a，x－a，－x＋4x＋3，x≥－a，所以由f(x)＝－x＋4x＋3＝0得x＝－1或4.(1)若－1≥－a，即a≥1时，由于函数有三个零点，且成等差数列，所以，另一个零点x0－1，故－2＝4＋x0，从而x0＝－6，故－6＋4－6＋3＋2a＝0，解得a＝116，满足条件；(2)若－1－a，即a1时，设函数f(x)＝x＋4x＋3＋2a(x－a)的两个零点为x1，x2(x1x2)，即x1，x2是方程x2＋(2a＋3)x＋4＝0(*)的两个实数根，从而x1＋x2＝－2a－3，x1x2＝4，又由于三个零点成等差数列，所以2x2＝x1＋4，消去x1，x2得4a2＋8a－23＝0，解得a＝－2±332，检验方程(*)Δ0，而a1，则a＝－2－332满足题意．综上，实数a的值为116或－2－332.题型六分段函数中求参问题函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试.例10、(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝x2＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋alnx，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________．【答案】(1，＋∞)【解析】解法1因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像在区间(0，＋∞)上恰好有两个不同的交点．当a≤0时，函数f(x)＝x2＋x－a在(0，＋∞)上递增，函数g(x)在(0，＋∞)上递减，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像在区间(0，＋∞)上最多有一个交点，所以a0，令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2ax－alnx＋a，0xa，x2＋2（1－a）x－alnx－a，x≥a，因为当0xa时，F′(x)＝2(x－a)－ax0，当x≥a时，F′(x)＝2x＋2－2a－ax＝2(x－a)＋2x－ax0，所以F(x)在(0，a)上递减，在(a，＋∞)上递增，故F(x)min＝F(a)＝－a2＋a－alna，结合F(x)的图像可得，要使得F(x)有两个零点，只需要F(a)0，即a－1＋lna0，令h(a)＝a－1＋lna，则h′(a)＝1＋1a0，所以h(a)在(0，＋∞)上递增，又因为h(1)＝0，h1e0，h(e)0，所以a1，故实数a的取值范围为(1，＋∞)．解法2x2＋|x－a|＝(2a－1)x＋alnx⇒x2＋|x－a|＝2ax－x＋alnx⇒x2－2ax＋a2＋|x－a|＝－x＋alnx＋a2⇒(x－a)2＋|x－a|＝－x＋alnx＋a2令h(x)＝(x－a)2＋|x－a|，φ(x)＝－x＋alnx＋a2.当a≤0时，n(x)＝h(x)－φ(x)单调递增，至多有一个零点，不符合题意．当a0时，φ'(x)＝－1＋ax＝a－xx在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故在x＝a处去极大值也就是最大值φ(a)，而函数h(x)＝(x－a)2＋|x－a|对称轴是x＝a，在此处取最小值h(a)．只需要φ(a)h(a)＝0(如图所示)，即alna－a＋a20⇒lna－1＋a0，令m(a)＝lna－1＋a(a0)．m′(a)＝1a＋10，m(a)在(0，＋∞)单调递增，又m(1)＝0，m(1e)0，m(e)0故所以a1，故实数a的取值范围为(1，＋∞)．例11、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x（3－x），0≤x≤3，－3x＋1，x3，若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．【答案】.1，94【解析】先画出x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x0时的图像．令y＝0得f(x)＝m.令y＝f(x)，y＝m，由图像可得要有四个不同的零点，则m∈1，94.例12、(201