数字电路与逻辑设计-第2章

第二章逻辑函数及其化简2.1逻辑代数2.2逻辑函数的简化•布尔代数Booleanalgebra：用一种数学运算的代数系统描述人的逻辑思维规律和推理过程。1854年，由英国数学家GeorgeBoole在他的一篇论文《思维规律的研究》（Ainvestigationofthelawsofthought）中提出，建立了计算机的计算符号语言中进行逻辑推理的基本规律。•逻辑代数Switchingalgebra：在1938年，由贝尔实验室的研究人员ClaudeE.Shannon指出如何将布尔代数的一些基本前提和定理应用于继电器的分析与描述，称为二值布尔代数，或开关代数。继电器是当时最常用的数字逻辑元件，继电器的接触状态（打开或闭合）用0或1表示。•逻辑代数是二值逻辑运算中的基本数学工具•逻辑代数广泛应用于数字系统的分析和设计逻辑代数中的几个概念1.逻辑状态LogicState：当事物的某些特性表现为两种互不相容的状态，即①某一时刻必出现且仅出现一种状态②一种状态是另一种状态的反状态则用符号0、1分别表示这两种状态，称逻辑状态。即：0状态(0－state)和1状态(1－state)一般，0状态——逻辑条件的假或无效，1状态——逻辑条件的真或有效。(两种状态无大小之分)2.1逻辑代数2.逻辑变量LogicValue：逻辑代数中的变量一般用大写字母A、B、C、…表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。逻辑常量LogicConstant：逻辑状态保持不变，取值“0”或“1”。3.逻辑电平LogicVoltage：01LH逻辑状态逻辑电平正逻辑规定（约定）注：本书均采用正逻辑约定。H电平L电平1状态0状态4.逻辑函数LogicFunction：对于任何一个电路，若输入逻辑变量A、B、C、…的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了，则可以称F是A、B、C、…的逻辑函数，并记为关系如下图所示：F=f(A,B,C…)实现f(A,B,C…)的逻辑网络ABF1．与运算AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮不亮不亮亮VBLA2.1.1基本逻辑与或非设：开关闭合=“1”开关不闭合=“0”灯亮，L=1灯不亮，L=00101BLA0011输入0001输出与逻辑真值表与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。1．与运算2.1.1基本逻辑与或非0101BLA0011输入0001输出与逻辑真值表BAL与逻辑表达式：读作“L等于A与B”在不致于混淆的情况下，可以把符号“·”省掉。在有些文献中，也采用∩、∧、&等符号来表示逻辑乘A&L=A·BB2．或运算或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮LBVA2．或运算AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮LBVA或逻辑表达式：L＝A+B0101BLA0011输入0111输出或逻辑真值表L=A+BA≥1B3．非运算非逻辑——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。A灯L闭合不闭合不亮亮ALRV3．非运算A灯L闭合不闭合不亮亮ALRVLA0110非逻辑真值表L=A1A非逻辑表达式：AL1、逻辑乘基本运算规则为：0·0=00·1=01·0=01·1=10·A=01·A=AA·A=A2.1.1基本逻辑运算BAP“有0则0”2、逻辑加运算规则为：0+0=00+1=11+0=11+1=10+A=A1+A=1A+A=A2.1.1基本逻辑运算BAP“有1则1”3、逻辑非运算规则为：2.1.1基本逻辑运算AP“求反”0AA1001AA1AA4、复合逻辑运算全高出低，一低出高（1）．与非——由与运算和非运算组合而成。0101BPA0011输入1110输出“与非”真值表BAP&ABP=AB4、复合逻辑运算全低出高、一高出低（2）．或非——由或运算和非运算组合而成。BAP0101BPA0011输入1000输出“或非”真值表ABP=A+B≥14、复合逻辑运算（3）．与或非逻辑运算——由与运算和或非运算组合而成DCBAP与或非门真值表ABCDABCDAB＋CDDCBA＋00000001000100010010000100110110010000010101000101100001011101101000000110010001101000011011011011001010110110101110101011111110AB&CDP14、复合逻辑运算不同为1（4）．异或——异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。P=AB=AB+AB0101BPA0011输入0110输出“异或”真值表BAP=A=1+B4、复合逻辑运算相同为1（5）．同或——P=A⊙B=A·B＋A·BABP000110111001“同或”真值表ABP=A⊙B=1（5）．同或——P=A⊙B=A·B＋A·B常用异或和同或运算公式此外，AAAAA0(A的个数为偶数)(A的个数为奇数)2.1.3真值表与逻辑函数解：第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。对于因变量P设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。1、真值表与逻辑函数的建立例2.1.1三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表。000001010011100101110111ABC00010111P三人表决电路真值表一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量P的值也唯一地确定了，就称P是A、B、C的逻辑函数，写作：P=f（A，B，C…）逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。2、逻辑函数的表示方法ABCCABCBABCAP（1）．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。（2）．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：000001010011100101110111ABC00010111P三人表决电路真值表CBACBACBACBAP2、逻辑函数的表示方法解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。反之，由函数表达式也可以转换成真值表。例2.1.2列出下列函数的真值表：P=A·B＋A·B真值表00011011AB1001P3．逻辑图——由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。例2.1.4写出如图所示逻辑图的函数表达式。由函数表达式可以画出逻辑图。解：可用两个非门、两个与门和一个或门组成。由逻辑图也可以写出表达式。ACBCABL解：&CBA&&L≥1&&L≥1AB11例2.1.3画出函数的逻辑图：L=A·B＋A·B2.1.4逻辑函数相等1、逻辑函数相等的概念（自学）例2.1.5列出下列函数的真值表：(1)F=A(B＋C)(2)G=AB＋AC逻辑代数的运算公式和规则公理交换律结合律分配律0-1律重叠律互补律还原律反演律00=001=10=011=10+0=00+1=1+0=11+1=1AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)自等律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=AAB=A+BA+B=ABA=A吸收律消因律包含律合并律AB+AB=A(A+B)(A+B)=AA+AB=AA(A+B)=AA+AB=A+BA(A+B)=ABAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)公式的证明方法：（2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。BABAA例2.1.6证明吸收律证：BAABABBA)(BABAABBABAABAB)()(AABBBABABAAB例2.1.7用真值表证明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000AB=A+BA+B=ABBCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的CAABBCDECAAB公式可推广：例：证明包含律CAABBCCAAB成立BC)AA(CAAB利用基本定律ABACABCABC2.1.5逻辑代数的基本规则CBABCAABC1.代入规则对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：同理可将摩根定律推广到n变量nnnnAAAAAAAAAAAA_2__1____________________21_2__1____________________21AB=A+B对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。基本公式中的公式l和公式2就互为对偶式。2.对偶规则将一个逻辑函数F进行下列变换：·→＋，＋→·0→1，1→0所得新函数表达式叫做F的对偶式，用表示。*F2.1.5逻辑代数的基本规则吸收律反演律分配律结合律交换律重叠律互补律公式10—1律对合律名称公式2AA100AAA011AAAAAAAABBAABBACABBCA)()(CBACBA)()(ACABCBA)())(()(CABABCA0AA1AABAABBABAABBAA)(BABAAAAABAA)(AABA【例】求的对偶函数。解DCBCBAF()()FABCBCD求对偶函数时，要注意保持原式中的运算次序不变。例：B1CAABF其对偶式F(AB)(AC)(0B)例2.1.8__EDCBAF求的反函数_F解用反演定律求___________()(())FABCDEABCDEABCDEABCDE3.反演规则在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例2.1.9。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。如例2.1.10。利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数)()(DBCAL解：DCBAL解：将一个逻辑函数F进行下列变换：·→＋，＋→·；0→1，1→0；原变量→反变量，反变量→原变量。所得新函数表达式叫做L的反函数，用表示。F例2.1.9求函数的反函数：DBCAL例2.1.10求函数的反函数：DCBAL函数式中有“”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“⊙”，“⊙”换成“”。例2.1.8__EDCBAF求的反函数_F解用反演规则求EDCBAF____注：①保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号②不属于单个变量上的非号有两种处理方法非号保留，而非号下面的函数式按反