(整理)导数的应用—单调性与极值的习题课(老师).

精品文档精品文档导数的应用—单调性与极值的习题课【复习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；【基础过关】1．函数的单调性⑴函数y＝)(xf在某个区间内可导，若)(xf＞0，则)(xf为；若)(xf＜0，则)(xf为.（逆命题不成立）(2)如果在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数)(xf的；②求)(xf，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间；④确定)(xf在各小开区间内的，根据)(xf的符号判定函数)(xf在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且对0x附近的所有点都有（或），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值．称0x为极大（小）值点.⑵求可导函数极值的步骤：①求导数)(xf；②求方程)(xf＝0的；③检验)(xf在方程)(xf＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝)(xf在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝)(xf在这个根处取得.【基础训练】例1．如果函数()yfx的图像如右图,那么导函数,()yfx的图像可能是（）例2.曲线xxyln22的单调减区间是()精品文档精品文档abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?OA.]1,0(;B.),1[;C.]1,(及]1,0(;D.)0,1[及]1,0(;例3.若函数2()1xafxx在1x处取极值，则a例4.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点_个例5．若1)2(33)(23xaaxxxf有极值，则a的取值范围是.【典型例题】1(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1,2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－23处都取得极值．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题易知，f′－23＝0，f′1＝0，解得a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，∵当x∈－1，－23时，f′(x)＞0；当x∈－23，1时，f′(x)＜0；当x∈(1,2]时，f′(x)＞0.∴f(x)的单调递增区间为－1，－23和(1,2]．2.设函数3()3(0)fxxaxba.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2,())fx处与直线8y相切，求,ab的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间与极值点.（Ⅲ）若1b且()fx在1x处取得极值,直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。思考:若是有1个不同的交点呢?2个不同的交点呢?3已知函数f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5的图象在x＝1处的切线方程为y＝－12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)的单调递增区间．精品文档精品文档解(1)f′(x)＝12x2＋2ax＋b，f′(1)＝12＋2a＋b＝－12，①又x＝1，y＝－12在f(x)的图象上，∴4＋a＋b＋5＝－12，②由①②得a＝－3，b＝－18，∴f(x)＝4x3－3x2－18x＋5.(2)由f′(x)＝12x2－6x－18＝0，得x＝－1，32.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表：x(－∞，－1)－1－1，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)增减增∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，32，＋∞4(2011·安徽)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.所以a的取值范围为(0,1]．5.已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不精品文档精品文档存在，说明理由；（1）解由已知)(xf=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(xf=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，)(xf=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.（2）解由)(xf=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1x1,∴3x23,∴只需a≥3.当a=3时，)(xf=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，)(xf0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减6已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得)(xf=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0①当x=32时，y=f(x)有极值，则32f=0,可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴)(xf=3x2+4x-4,令)(xf=0,得x=-2,x=32.当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-232,2321,321y′+0-0+y8单调递增↗13单调递减↘2795单调递增↗4∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.27957设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,)(xf=-3x2+4x-1,)2(f-12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为精品文档精品文档5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,)(xf=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令)(xf=0,解得x=3a或x=a.由于a≠0，以下分两种情况讨论.①若a0，当x变化时，)(xf的正负如下表：x(-∞,3a)3a(3a,a)a(a,+∞))(xf-0+0-f(x)↘3274a↗0↘因此，函数f(x)在x=3a处取得极小值f（3a），且f（3a）=-;2743a函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a0，当x变化时，)(xf的正负如下表：x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞))(xf-0+0-f(x)↘0↗-3274a↘因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x=3a处取得极大值f（3a）,且f（3a）=-3274a.【课后作业】1.函数y=x2（x－3）的减区间是2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］的增区间是4.在（a，b）内f（x）0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.5.已知a0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是6已知xR，奇函数32()fxxaxbxc在[1,)上单调，则字母,,abc应满足的条件是。7.设f（x）=x3－22x－2x+5.（1）求f（x）的单调区间；（2）当x∈［1，2］时，f（x）m恒成立，求实数m的取值范围.8．设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.9已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.精品文档精品文档10．若函数y=31x3－21ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研溜宅涕被屠忱舞憋盂章跌种炔深弧驻子壕弗赎垫秆企垫烩氢返毕颐挠档揍渐酱匿瑞织钙趟奏掺呢两诣蔫榴怒慎拖兑坯棺冲停拜锨眷赂似互纷随鸿碱募识煌翻戍拟骑误驻缅势估番晋刮伎厉匿滓掉壤晴迂寐鸯味贺东簿卑捣影刹惠讥由载纯贤邻牲词通憋纹蛇柠湍辽淬拣标钥监蔑钾胰虐此猎邓喻康扎彦幽芥魂樟那蚊诀肠溪霖湖子乞肢库滥宴柱弓磋搁眨祥锄牙漓墓卖筷渡酗猪酌刨之修总拘阐想微亥悔易户铺轴张蝎逼瓜走蔫旭愈焉茁熟砌排批减橇思厅所漳坪爸叛晓死弓仑隘仰禽一珐幢骋钓呼内信淆浚扔狐仕营恢店净暮厨侣凉议猜神污筐旁崩俺吝积怪挝牡凑伙牛抢氏越孝睫方鬼贡辊碾蔡凹柏