二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

一、f(x)Pm(x)ex型二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型§12.9二阶常系数非齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和yY(x)+y*(x)上页下页铃结束返回首页提示[Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为下页Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得[Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]y*+py*+qy*上页下页铃结束返回首页提示此时2+p+q0要使(＊)式成立Q(x)应设为m次多项式Qm(x)b0xm+b1xm1++bm1x+bm(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Qm(x)ex下页一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得上页下页铃结束返回首页提示此时2+p+q0但2+p0要使(＊)式成立Q(x)应设为m+1次多项式Q(x)xQm(x)其中Qm(x)b0xm+b1xm1++bm1x+bm(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根则y*xQm(x)ex下页(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Qm(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得上页下页铃结束返回首页提示此时2+p+q02+p0要使(＊)式成立Q(x)应设为m+2次多项式Q(x)x2Qm(x)其中Qm(x)b0xm+b1xm1++bm1x+bm(3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根则y*x2Qm(x)ex下页(2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根则y*xQm(x)ex(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则y*Qm(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程y+py+qyPm(x)ex特解形式为Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x)——(＊)则得上页下页铃结束返回首页结论二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2下页上页下页铃结束返回首页提示因为f(x)Pm(x)ex3x+10不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*b0x+b1把它代入所给方程得例1求微分方程y2y3y3x+1的一个特解解齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30比较两端x同次幂的系数得b01311b因此所给方程的特解为31*+xy[b0x+b1]2[b0x+b1]3[b0x+b1]3b0x2b03b12b03b0x3b13b0x2b03b13x+1提示3b032b03b11比较两端x同次幂的系数得b01311b特解形式上页下页铃结束返回首页例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r12r23提示齐次方程y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0x+b1)e2x把它代入所给方程得2b0x+2b0b1x比较系数得210bb11故xexxy2)121(*比较系数得210bb11故xexxy2)121(*比较系数得210bb11故xexxy2)121(*提示2b012b0b10特解形式上页下页铃结束返回首页首页例2求微分方程y5y+6yxe2x的通解解齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r+60其根为r12r232b0x+2b0b1x比较系数得210bb11故xexxy2)121(*比较系数得210bb11故xexxy2)121(*因此所给方程的通解为xxxexxeCeCy223221)2(21++因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0x+b1)e2x把它代入所给方程得特解形式上页下页铃结束返回首页二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]有形如y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]的特解其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式mmax{ln}而k按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型下页结论上页下页铃结束返回首页解结束特解形式例3求微分方程y+yxcos2x的一个特解因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x+iw2i不是特征方程的根所以所给方程的特解应设为齐次方程y+y0的特征方程为r2+10把它代入所给方程得y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x比较两端同类项的系数得31ab0c094d因此所给方程的特解为xxxy2sin942cos31*+比较两端同类项的系数得31ab0c094d