223向量共线定理解析

2.2.3向量的数乘运算1.向量加法的三角形法则作法:在平面中任取一点O,o回顾旧知:过O作OA=a过A作AB=b则OB=a+b.a+bbaA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾连2.向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点O,o以OA,OB为边作平行四边形C如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB过O作OA=a过O作OB=ba+b则对角线OC=a+b共起点3.向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点o,过O作OA=a过O作OB=boaAbB则BA=a-ba-b共起点实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a（如图）a试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)根据向量加法的法则可得思考:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？3a3a3aOaaaABC3a由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3a，即OC=3a.显然，3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|.PQaMaNa3a由图可知，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，即PN=-3a显然，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|。||||||;aa（1）一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：aa（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。aa0aa0特别的，当时，00.a思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点?①a是一个向量；②a的长度等于的绝对值与向量a的长度的乘积。1、实数与向量积的定义aa2a6)2(3a)2(3aa6=1()()aa（）2、实数与向量积的运算律根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。aa5a2a32()aaa（）(23)23?aaa2、实数与向量积的运算律2()22?abab(3)abab（）2、实数与向量积的运算律abba22aba2b2ABCDEabbaADE1()()aa（）3()abab（）2()aaa（）2、实数与向量积的运算律结合律分配律分配律逆运算设为实数，那么,(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别的，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.a、b向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有12λ、μ、μ1111.abab（）=例1.计算：(3)4;3()2();(23)(32).aababaabcabc(1)(2)(3)11225352ababc解：注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.12263)3(342);(2)3()2(2)4()0.abcabcxaxaxabx巩固练：计算：（）（已知求习cbacba612961241）原式解：（a13043044442332baxbaxaxax）（bax43练习1.,R,,()(1)0,0,;(2)0,0,;(3)0,0,;(4)0,0,;(5)0,0,;.2.3.4.5aaaaaaaaaaaaaaaABCD已知则在以下各命题中正确的命题共有与方向一定相反与方向一定相同与是共线向量与方向一定相同与方向一定相反Ｄ解：DC=AB=aBC=BD+DC=(AD-AB)+DC=b-a+a=b-aMN=DN-DM=a-b-a=a-b21212121214141DANMCB例1:梯形ABCD，且|AB|=2|DC|M、N分别为DC、AB中点。AB=aAD=b用a，b表示DC、BC、MN。巩固练习:设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的点,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若记AB=m,CA=n.试用m,n表示DE、EF、FDABC·DE·F·2531213241163DEmnEFmnFDmn思考:问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa？问题1：如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0),b，以及实数λ,baaa3.向量共线定理反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的λ倍，即|b|︰|a|=λ，那么当向量a与b同向时，有b=λa，当向量a与b反向时，有b=-λa.也就是说：如果a与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a.对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共线.思考：若则结论如何？0a:,.baba向量与非零向量,当且仅当有唯一一个实数使得定共线理练习、已知向量ABAD3BCDE3试判断，，AEAC与是否共线。ABDECABDECBCAB33BCAB3AC3∴与共线．AEACDEADAE解：6.23abOAabOBabOCabABC例如图，已知任意两个非零向量、，试作，，，你能判断、、三点之间的位置关系吗？为什么？abABCOab2b3b例7:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，，求证M、N、C三点共线.BDBN31AMBCDN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+b6131MC=…=a+b211∴MC=MN3所以M.N.C三点共线一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD练习1设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴练习2:e1、e2不共线,a=e1+e2,b=3e1-3e2.a与b是否共线。解：假设,a与b共线则e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ这样λ不存在。∴a与b不共线。练习3:设两非零向量a和b不共线，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b求证：A、B、D三点共线。例2:（2003辽宁）已知四边形ABCD是菱形，P点在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于()A、B、C、D、(),(0,1)ABAD2(),(0,)2ABBC(),(0,1)ABAD2(),(0,)2ABBCA变形1:（2003全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心(),[0,),||||ABACOPOAABACB变形2:OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP(1)OPtOAtOB所以：OABP因为OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB思考:若上式成立,则A、B、P有什么关系?反之?结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线(1)OPtOAtOB则则P、A、B三点共线.(1)OPtOAtOB若O是平面上任意一点,且若O是平面上任意一点,且OPOAOB其中,则P、A、B三点共线1等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线,则其中OPOAOB1巩固练习:如图OAB中,C为直线AB上一点,AC=λCB(λ≠-1),1OAOBOC求证：ABOC练习1设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴练习2:e1、e2不共线,a=e1+e2,b=3e1-3e2.a与b是否共线。解：假设,a与b共线则e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ这样λ不存在。∴a与b不共线。练习3:设两非零向量a和b不共线，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b求证：A、B、D三点共线。