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选修4-5不等式选讲最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:(1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R).(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.1.含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)⇔f(x)a或f(x)-a;(2)|f(x)|a(a0)⇔-af(x)a;(3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.2.含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.问题探究:不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件分别是什么?提示:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3.基本不等式定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立.定理2:如果a、b为正数,则a+b2≥ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:如果a、b、c为正数,则a+b+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数,则a1+a2+…+ann≥na1a2…an,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.4.柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d为实数,则(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.(2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则(i=1na2i)(i=1nb2i)≥(i=1naibi)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当ab0时等号成立.()(2)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()(3)|ax+b|≤c(c0)的解等价于-c≤ax+b≤c.()(4)不等式|x-1|+|x+2|2的解集为Ø.()(5)若实数x、y适合不等式xy1,x+y-2,则x0,y0.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2.不等式|2x-1|-x1的解集是()A.{x|0x2}B.{x|1x2}C.{x|0x1}D.{x|1x3}[解析]解法一:x=1时,满足不等关系,排除C、D、B,故选A.解法二:令f(x)=x-1,x≥12,1-3x,x12,则f(x)1的解集为{x|0x2}.[答案]A3.设|a|1,|b|1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|2B.|a+b|+|a-b|2C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小[解析]|a+b|+|a-b|≤|2a|2.[答案]B4.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则a+b+c的最大值为()A.1B.2C.3D.2[解析](a+b+c)2=(1×a+1×b+1×c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.∴(a+b+c)2≤3.故a+b+c的最大值为3.故应选C.[答案]C5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3,所以a的取值范围为-2≤a≤4.[答案]-2≤a≤4考点一含绝对值的不等式的解法解|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型不等式,其一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序,它们把定义域分为若干个区间.(3)在所分区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集.(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.(1)(2015·山东卷)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax-2|3的解集为x-53x13,则a=________.[解题指导]切入点:“脱掉”绝对值符号;关键点:利用绝对值的性质进行分类讨论.[解析](1)当x1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)2,即-42,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)2,即2x-62,解得x4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)2,即42,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.(2)∵|ax-2|3,∴-1ax5.当a0时,-1ax5a,与已知条件不符;当a=0时,x∈R,与已知条件不符;当a0时,5ax-1a,又不等式的解集为x-53x13,故a=-3.[答案](1)A(2)-3用零点分段法解绝对值不等式的步骤:(1)求零点;(2)划区间、去绝对值号;(3)分别解去掉绝对值的不等式;(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.对点训练已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.[解](1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x≤2,1,2x3,2x-5,x≥3.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2x3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].考点二利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x-a|+|x-b|c或|x-a|+|x-b|c的不等式,利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式,更为直观、简捷,它体现了数形结合思想方法的优越性.|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和,应注意x的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.(2)不等式|x+1|-|x-2|k的解集为R,则实数k的取值范围是__________.[解题指导]切入点:绝对值的几何意义;关键点:把恒成立问题转化为最值问题.[解析](1)∵|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x-2)|=3,∴a2+12a+2≤3,解得-1-174≤a≤-1+174.即实数a的取值范围是-1-174,-1+174.(2)解法一:根据绝对值的几何意义,设数x,-1,2在数轴上对应的点分别为P,A,B,则原不等式等价于PA-PBk恒成立.∵AB=3,即|x+1|-|x-2|≥-3.故当k-3时,原不等式恒成立.解法二:令y=|x+1|-|x-2|,则y=-3,x≤-1,2x-1,-1x2,3,x≥2,要使|x+1|-|x-2|k恒成立,从图象中可以看出,只要k-3即可.故k-3满足题意.[答案](1)-1-174,-1+174(2)(-∞,-3)解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满足条件的x即可;不等式的恒成立问题,可转化为最值问题,即f(x)a恒成立⇔af(x)max,f(x)a恒成立⇔af(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)=|2x-a|+a,a∈R,g(x)=|2x-1|.(1)若当g(x)≤5时,恒有f(x)≤6,求a的最大值;(2)若当x∈R时,恒有f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.[解](1)g(x)≤5⇔|2x-1|≤5⇔-5≤2x-1≤5⇔-2≤x≤3;f(x)≤6⇔|2x-a|≤6-a⇔a-6≤2x-a≤6-a⇔a-3≤x≤3.依题意有,a-3≤-2,a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)+g(x)=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a=|a-1|+a,当且仅当(2x-a)(2x-1)≤0时等号成立.解不等式|a-1|+a≥3,得a的取值范围是[2,+∞).考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多,解题时既要充分利用已知条件,又要时刻瞄准解题目标,既不仅要搞清是什么,还要搞清干什么,只有兼顾条件与结论,才能找到正确的解题途径.应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则a+bc+d;(2)a+bc+d是|a-b||c-d|的充要条件.[解题指导]切入点:不等式的性质;关键点:不等式的恒等变形.[证明](1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由题设a+b=c+d,abcd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)①若|a-b||c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以abcd.由(1)得a+bc+d.②若a+bc+d,则(a+b)2(c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b||c-d|.综上,a+bc+d是|a-b||c-d|的充要条件.分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤13;(2)a2b+b2c+c2a≥1.[证明](1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.所以a2b+b2c+c2a≥1.———————方法规律总结————————[方法技巧]1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号.2.绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用,同时还要注意等号成立的条件.3.在证明不等式时,应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧.如在使用柯西不等式时,要注意
本文标题:《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
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