第二节-风险评价的概率模型

第2章风险评价的概率模型学时分配：共2学时重点和难点：泊松分布和威布尔分布2.1泊松分布（事故发生次数的分布）在进行某项活动的一定的时间间隔内，发生事故的次数也具有随机的性质。假设进行该项活动的事故发生时间分布服从指数分布。由活动开始时刻发生次事故的概率可以表达为：,n=0,1,2,…式中—到时刻t发生事故的次数。到时刻t发生0次事故的概率为：设，在时间间隔内发生了第一次事故，在此以后的时间内发生了次事故。可以求出第一次事故发生在时间间隔内的概率为；在时间内发生次事故的概率为。若是处于0和之间的任意值，则：当时，代入上式得出：类似地，求出当时的为：该式为参数为的泊松分布。如果已知事故发生率，给定的时间间隔为，则可以计算出发生事故的概率。在实际的安全工作中，人们往往更加关心某时间间隔内发生事故次数超过的概率。这可以通过计算发生事故次数不超过次的概率而求得：泊松分布属于单参数的离散分布，当标准时间内事件发生率为为一定时，用来计算在该单位时间内正好发生次的概率。泊松分布用来计算标准单位（一张照片、一只机翼、一块材料等等）内的缺陷数、交通死亡人数等等，在排队理论中占有重要的地位。对于泊松分布，其只有一个决定其概率分布形状的参数，它的特性如下：①形状参数：②参数范围：③期望值：④标准差：一般来讲，从容量为的样本中观察到成功的平均数可以作为的估计值，即例题：如果电话号码本中每页的错误个数为2.3个，K为每页中错误数目的随机变量。（a）画出它的概率密度和累积分布图；（b）求足以满概括50%页数中差错误的K。根据公式：其中可以求出等的概率。012345678910112624120720504040320362880362888000.10030.23060.26520.20330.11690.05380.02060.00680.00190.00050.00010.10030.33090.59610.79940.91630.97010.99070.99750.99940.99991.0000根据如上的数据，可以画出其概率图和累积分布图。图概率分布图图累积分布图例题：某单位每月发生事故的情况如下：每月的事故数012345频数（月数）27128210（a）根据如上的数据，认为最有可能的是每月发生一次事故，这正确吗？（b）在均值上下各的范围是多少？(a)是每月发生一次事故概率为：，其中，计算得出：(b)此时，，故应用泊松分布解题的步骤如下：①检查前提假设是否成立。最主要的条件是在每一标准单位内所指的事件发生的概率是常数；②确定变量，求出值；③求对应个别K的泊松分布概率；④求若干个K的泊松分布概率的总和；⑤求泊松分布的均值和方差；⑥画出概率分布和累积分布图。作业1：对连续的冷轧钢板按每10米作为一段，检查其缺陷数。检查了50段结果如下。试求：（1）如果规定每段不得有3个以上的缺陷，则超出规定的概率是多大？（2）求出的范围并加以说明。每段的缺陷数0123456频数（段数）35832101作业2：某矿200个月的因事故伤亡的人数的统计数据如表所示。试将所观察到的频数同泊松分布求出的频数相比较。每月的死亡人数01234实际频数（月）100742231泊松分布的概率理论频数（月数）.2威布尔分布（WeibullDistribution）威布尔分布是近年来在可靠性分析中使用最为广泛的模型。一方面，它合理的建模许多元件的寿命，如真空管、球轴承、复合材料等等。另一方面，这个模型由于形状参数，使得它在在数据拟合上极富于弹性。最后，它的所有可靠性基本函数都有封闭形状的解析表达式，使得数学处理十分的便利，尤其是经过双对数变换后它能线性化，从而使计算机图形处理以线形回归等技术能够被方便地利用。威布尔分布是瑞典科学家W.Weibull提出的，就表达形式而言，它可以被看作是经对指数分布的一般化而产生的模型。如果随机变量的函数服从指数分布，则服从威布尔分布。其密度函数为：其可靠性函数为：其中，为形状参数，为尺度参数。关于威布尔概率纸图(WeibullPlottingPaper)简称为WPP。它是指对威布尔曲线经过线形化后，所绘制的图形。令：，则：对于威布尔分布，其均值和方差分别为：威布尔分布是可靠性理论中最为流行和广泛使用的模型，它具有下面三个明显的优点：①它具有明确的物理背景和获得大量的实践应用的检验。瑞典科学家W.Weibull在研究材料强度等问题时，按照最弱链的假设推演出以其名字命名的威布尔分布。随后应用于机械、电子等零部件的失效建模。②该模型非常具有弹性：形状参数是使威布尔模型富于弹性的关键参数：⑴时，是减函数；⑵时，模型退化为指数函数；⑶时，密度函数是单峰的。当时，威布尔分布接近正态分布。③以威布尔分布为基础，已经形成了一大批可靠性模型，它们包括具有位置参数的威布尔模型，反威布尔模型。它的混合、竞争风险，并联、分段模型，它的截短模型等等。例题：Luxhoy&Shyur用曲线拟合的方法建立了某直升飞机三种零件的失效数据的统计模型，其数值和拟合的参数列表如下。表某直升飞机三种零件的失效数据的统计表206-011-147-005206-011-147-007206-001-154-105156.5213.4265.7265.7337.7337.7406.3573.5573.5644.6744.8744.81023.616.9117.53207.53207.53209.53270.2354.5392.1410.1410.1495.9564.5573.6573.6158.7420.0607.4751.1838.01088.41163.01199.84057.0750.1750.1920.6表利用曲线拟合的方法和直线回归的方法拟合的参数零件代码Luxhoy&Shyur曲线拟合Jiang&Zuo的直线回归206-011-147-0051.7988517.37151.936156530.392206-011-147-0071.5876463.58421.164328518.9702206-001-154-1051110.7751.206081250.821主要参考资料：1．陈幼松,扬位钦.实用数理统计方法及应用题祥解.北京:北京科学技术出版社,19882．蒋仁言.左明键.可靠性模型及应用北京:机械工业出版社,1999