中考能力提升专题3——“胡不归”模型

1中考能力提升专题3——“胡不归”模型一、模型引出【问题提出】如图①，已知点A（6，23），点P在x轴的正半轴上，点Q点从点A出发沿A-P-O的路线向原点运动，已知它在第一象限内的速度为每秒1个单位长度，在x轴上的速度为每秒2个单位长度。当P在何处时，点Q运动到原点所花的时间最短？【问题分析】根据题意可得，时间t＝2OPAP，问题转化为：在x轴上确定一点P，使得2OPAP的值最小．【问题解决】如图，过原点O做射线OB，使得∠BOP＝30°.（1）过点P作PB⊥OB，垂足为B，试说明：2OPAP=AP+BP；（2）请在图①中画t最小时对应的点P的位置（记为p＇），并求t的最小值．【模型运用】（3）如图②有一条河流，河宽AB=30米，有人在离B点60米处的C点发现河对岸A点处有一小孩掉入水中，这个人马上就去营救，已知这个人在河岸上的跑步速度为6米/秒，在河水中游泳的速度为2米/秒，此人最快能在几秒内赶到？图②图①xyOABPACB2二、模型概括nnPAPBmm第一步：将所求线段和改写为的形式（1）;sin;nPBPAm在的一侧，的异侧，构造一个角度，使得第二步：A过作第二步所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长即为所求第三步：最小值；第四步：计算.三、模型应用1.(2018台州仙居县一模）如图1，菱形ABCD中，∠ABC＝60°,边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则PCBP21的最小值是（）A.3B.233C.3D.23433图1图2图32.（2015无锡二模）如图2，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC=150°,则求PA+PB+PD的最小值为。3.如图3,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为()A.(0,22)B.(0,22)C.(0,32)D.(0,42)34.在∆ABC中，BC=2,∠B=300，求2AC+AB的最小值。5.(2016徐州）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数cbxaxy2的图象经过点A(-1,0)、B（0,-3)、C(2,0)，其对称轴与x轴交于点D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。（2）若P为y轴上的一动点，连接PD，则PDPB21的最小值为_____。6.（2015日照）如图6，抛物线y=21x2+mx+n与直线y=-21x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠BAC的值；（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？图647.（2015内江）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，求21CD+OD的最小值．8.(2017广州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形是ΔCED。(1)求证：四边形OCED是菱形。(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm。①求sin∠EAD的值。②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动。当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间。