极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程-的互相转化

1极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩）（）（0,0,yyxx变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为（　　）A．B．C．D．4x2+9y2=1【解答】解：曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2=1②，把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1．{x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0），)将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1，x29y24比较系数得λ＝，μ＝．13122所以将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x′＝13x，y′＝12y．)1312可得到圆x′2＋y′2＝1．亦可利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为＋＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得(x3)2(y2)2{x′＝x3，y′＝y2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标,xy极坐标,互化公式cossinxy222tan0xyyxx已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A：直角坐标,xy化为极坐标,的步骤①运用222tan0xyyxx②在0,2内由tan0yxx求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．3B::极坐标,化为直角坐标,xy的步骤，运用cossinxy（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cossinxy，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。sincos和例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即02-sin3cosB：极坐标转化成直角坐标类型①：直接转化---直接利用公式转化例如：ρ(cosθ＋sinθ)＝12思路：第一步：去括号，ρcosθ＋ρsinθ＝12第二步：用公式cossinxy转化，即12yx类型②：利用三角函数的两角和差公式，即2sin2coskk或思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简第二步：利用公式cossinxy转化例如：直线的极坐标方程是l2sin333解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即433cos3sin33)cos23sin21233)3sincos3cossin2（（第二步：第二步：利用公式cossinxy转化0333,33333cos3sinyxxy即类型③：，该直线经过原点（极点），对应的直角角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（坐标方程为kxx即ytanαy例如：(0)3思路：直接代入033yxxyx，33yx33x即y3tany(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)三、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一：sincos详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。sin,cos所以两边同时乘以，即0--,sincos22222yxyxyxyx即类型二：2没有三角函数时，可以考虑两边同时平方544222yx即2.圆的直角坐标转化成极坐标3)1()4(22yx解题方法一：拆开--公式代入014sin2cos801428031216822222yxyxyyxx即解题方法二：代入-拆-合031sin2sin16cos8cos3)1sin()4cos(222222即014sin2cos8014sin2cos8)sin(cos2222即【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①将点M的极坐标化成直角坐标；(4，143π)②将点N的直角坐标(4，－4)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ2π)．3【解答】解：①∵x＝4cosπ＝4cos＝4×＝－2，y＝4sinπ＝4sin＝2，∴点A的1432π3(－12)1432π33直角坐标是(－2，2)．3②∵ρ＝＝8，tanθ＝＝－，θ∈[0，2π)，又点(4，－4)在第四象42＋（－43）2－43433限，∴θ＝，∴对应的极坐标为．5π3(8，5π3)62、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y2＝4x;②θ＝(ρ∈R)；π3③ρ2cos2θ＝4;④ρ＝．12－cosθ【解答】解：①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ．化简得ρsin2θ＝4cosθ．②当x≠0时，由于tanθ＝，故tan＝＝，化简得y＝x(x≠0)；当x＝0时，y＝0．显yxπ3yx33然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．3π33③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4．④因为ρ＝，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此12－cosθ2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0．x2＋y2三、参数方程1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点P(x0，y0)，倾斜角为α)(00xxkyyError!(α为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r22020)y-yx-xr（）（Error!(θ为参数)7长半轴a和短半轴b椭圆＋＝1(a＞b＞0)x2a2y2b2Error!(θ为参数)实轴a和虚轴b双曲线－＝1(a＞0，b＞0)x2a2y2b2Error!(θ为参数)已知p抛物线y2＝2px(p＞0)Error!2.参数方程与普通方程的转化（1）参数方程转化成普通方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如：曲线C：(t为参数）tytx221222解：思路一：代入消元：∵x＝2＋t，∴t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝2222220.思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边8化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加（注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.{x＝1＋cosθ，y＝－2＋sinθ)解：移项：（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）sin2cos1yx平方：2222sin2cos1）（）（yx相加：12)y1-x22（）（3.参数方程涉及题型（1）直线参数方程的几何意义（2）距离最值（点到点、曲线点到线、）【强化理解】1、直线l的参数方程为为参数）．写出直线l的直角坐标方程；【解答】直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）9