曲边梯形的面积与定积分

曲边梯形的面积与定积分1.4.1了解：几个常用求和公式2)1(......321nnn6)12)(1(......3212222nnnn23333)2)1((......321nnn1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)一.曲边梯形的定义x=ax=b曲边梯形的特点①、只有一边是曲线②、其他三边是特殊直线问题1圆的面积公式是如何推导的？曲边梯形的面积将圆分成若干等份rr无限分割！y=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21n1n2nknnxOy2xy例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。（2）近似代替n1)n1i(x)n1i(fS2i(不足近似值)n1n2nknnxOy2xy（3）求和])1n(210[n1n1)n1-i(n1)n1-if(SSSSS22223n1i2n1in1iin21（4）取极限1111(1)(2)6nn31S.3S所以2222(1)(21)1236nnnn311111(n1)n(2n1)(1)(2)n66nnS当分割的份数无限增多,即n→∞,△x→0时小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法（1）分割（2）近似代替（3）求面积的和（4）取极限noxy不足近似值！n1n2nknnxy2xynnn2ii1i1i12222311SSf()()nnnn1[12(n1)]niin(过剩近似值)n1n2nknnxy2xy2222331S[12(n1)]n1(1)(21)1111(1)(2)n663nnnnnn(过剩近似值).31ξfn1limxΔξflimS,ξfξni,n1ixxf,inn1iinii2都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明abxyxfyoafbf15.1图•求曲边梯形面积：•(1)思想：以直代曲．•(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．•(3)关键：近似代替．•(4)结果：分割越细，面积越精确．1、在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确)(ixf)(1ixfC1,iixx练习),()(1iiiixxfbxxxxxann1210],[1iiixx任取niixf1)(做和式：常数）且有，(/))((lim10Anabfniin二.定积分定义设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：把区间[a,b]等分成n个小区间，],[1iixx在每个小区间./))((1nabfniibadxxf)(则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)记作nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即xfSii)(被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限nabfdxxfniiba10n)(lim)(A即积分和abbaaadxxfdxxfdxxf)()(,0)(规定：,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关1A2A3A4A1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：定积分就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)(2、定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba)(定积分的几何意义是什么？对定积分的几何意义理解有误导致错误用定积分的几何意义求定积分052(x－2)dx.【错解】052(x－2)dx＝205（x－2）dx，由定积分的几何意义知05(x－2)dx是由直线y＝x－2，x＝0，x＝5及x轴所围成的图形的面积(如图所示的阴影部分)，•【错因分析】在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误．∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝132，∴052(x－2)dx＝2×132＝13.解：错解！nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即【防范措施】若f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面积S＝abf(x)dx；若f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积S＝－abf（x）dx；若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面积S＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx.定积分的简单性质(1)()()()bbaakfxdxkfxdxk为常数1212(2)[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx(3)()()()(acb)bcbaacfxdxfxdxfxdx题型1：定积分的简单性质的应用20082007102132)()()()(1dxxfdxxfdxxfdxxf、化简20080)(dxxf题型2：定积分的几何意义的应用＝？、3141dx＝？、axdx02＝？、dxx302)2(3＝？、dxx30294825221a问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。49理解练习见学案例1；例2；例3微积分基本定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作说明：牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。解（１）()()|()()bbaafxdxFxFbFa找出f(x)的原函数是关键例1计算下列定积分dxx21113122xdxxx1ln'2ln1ln2lnln12121xdxxabxdxxbabalnlnln11：公式813222231312xxdx练习1:____4____3____2____112131031010dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121：公式例２．计算定积分解:dxxx3122132'2'311,3xxxxdxxdxxdxxdxx3123123123121313原式37611311313331313xx达标练习：___14___1233___12___2312121221102dxedxxxdxxxdttx12ln23912ee初等函数微积分基本定理)()()(aFbFdxxfba三、小结banbannxdxx121：公式abxdxxbabalnlnln11：公式|bacx11|1nbaxn++cos|bax-sin|bax定积分公式'6)()xxbxaedxee'7)()lnaxbxxadxaaa'15)(ln)1baxxdxx'1)()bacxccdx'12)bnnnaxnxdxx'3)(sin)coscosbaxdxxx'4)(cos)sinsinbaxdxxxln|||bax|xbae|lnxbaaa牛顿•牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。•牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。•牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。返回莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。返回基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则返回