二次函数的有关概念

二次函数的有关概念课标解读：考点归纳考试内容目标要求题型二次函数的概念用配方法把抛物线的解析式化为2()yaxhk形式理解选择题填空题根据已知条件用待定系数法确定二次函数解析式掌握选择题填空题解答题二次函数与一元二次方程的联系根据函数求一元二次方程的根，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x的交点；根据图象判断一元二次不等式的解集灵活运用选择题填空题解答题〖核心知识点梳理〗：一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。[注意]：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零。二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc的结构特征：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．(2)abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．考点：(1)关于x的代数式一定是整式,(2)a,b,c为常数,且a≠0.(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.[考点例题精解]：(1)下列函数中，是二次函数的为_______.A.21yxB.22(x2)yxC.22yxD.2(x1)yx(2)函数24(m2)x(m3)xmmmy是二次函数，则m的值为_______.A.1或-6B.1C.-2或3D.3二、二次函数的三种解析式1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.[注意]：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、待定系数法求二次函数解析式用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法(具体问题具体分析)。1、设一般式：y=ax²+bx+c(a≠0）若已知三个点，代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，得出解析式。2、设顶点式2(x)(a0)yahk：若已知二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值（最小值）将已知代入，求出待定系数，得出解析式。3、设两根式：12(xx)(xx)(a0)ya若已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为1,0x,2,0x，将第三点(m,n)的坐标或其他条件代入，求出待定系数，得到解析式。[考点例题精解]：1、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）2、已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．3、写出一个开口向上，且对称轴为直线x=2的二次函数解析式_______．4、请写出一个顶点在x轴上的的二次函数解析式_______．5、已知一个二次函数的图象经过A（4，3），B（1，0），C（-1，8）三点，求这个二次函数解析式_______．6、已知二次函数的图象经过点（-1，3），且它的顶点是原点，那么这个二次函数的解析式为______．7、已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式______．四、二次函数与一元二次方程的关系（一）抛物线与x轴的交点求抛物线2yaxbxc与x轴的交点问题，实质上是求一元二次方程20axbxc的根的问题。1、当240bacA.y=2（x+1）2+8B.y=18（x+1）2-822.(x1)89CyD.y=2（x-1）2-8抛物线与x轴有两个不同的交点，坐标是（24,02bbaca）、（24,02bbaca）.2、当240bac抛物线与x轴有唯一交点，坐标为（,02ba）.3、当240bac抛物线与x轴没有交点（二）一元二次方程与二次函数间的关系一元二次方程20(a0)axbxc与二次函数2(a0)yaxbxc之间的区别与联系。以下以0a为例加以说明.内容结果判别式240bac240bac240bac一元二次方程20axbxc有两个不等实根242bbacxa有两个相等实根122bxxa没有实根二次函数2yaxbxc图象yyxyx二次函数2yaxbxc抛物线与x轴有两个交点1,0x、2,0x抛物线与x轴有一个交点（,02ba）抛物线与x轴没有交点0y时，x的取值21xxxx或2bxax是任一实数解0y时，x的取值12xxx无解无解2x1xx[考点例题精解]：1、已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是（）2、若一元二次方程x2-2x-k=0实数根，则二次函数y=x2+（k+1）x+k的图象的顶点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值______．4、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，则k的最小值为______．已知二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解是______．A．y=-x2+2x+1B．y=-x2-2x-1C．y=-x2-2x+1D．y=x2+2x+1[巩固练习]：1、下列二次函数中，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式为（）A．y=（x-2）2+3B．y=（x+2）2+3C．y=（x-2）2-3D．y=（x+2）2-32、一个二次函数的图象经过（-3，0）、（2，0）、（1，-4）三点，则这个二次函数的解析式是______．3、已知：如图，二次函数y=ax2+bx-2的图象经过A、B两点，求出这个二次函数解析式______．4、二次函数的图象经过点（1，2）和（0，-1）且对称轴为x=2，求二次函数解析式______．5、已知二次函数的图象经过点（-1，3），且它的顶点是原点，那么这个二次函数的解析式为______．6、已知抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴有且只有一个交点，则p=______，该抛物线的对称轴方程是______，顶点的坐标是______.7、若二次函数y=x2-3x+k的图象与x轴有公共点，则实数k的取值范围是______．8、抛物线y=ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是______．9、若抛物线y=-4x2+16x-15的顶点为A，与x轴的交点为B、C，则△ABC的面积是______．10、二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是______．11、抛物线y=2x2-5x+3与坐标轴的交点共有______个.12、二次函数y=x2+kx+1与y=x2-x-k的图象有一个公共点在x轴上，则k=______.13、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）14、现定义某种运算a⊕b=a（a＞b），若（x+2）⊕x2=x+2，那么x的取值范围是（）15、抛物线242myxx与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______.16、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a＞0的解集是（）17、抛物线y=a（x-1）2+c的图象如图所示，该抛物线与x轴交于A、B两点，B的坐标为（20，）则A点的坐标为______.A．-1＜x＜3B．x＞3C．x＜-1D．x＞3或x＜-1A．-1＜x＜2B．x＞2或x＜-1C．x＞2D．x＜-1aAxb、.axbB、axbC、axbD、18、二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点(-1，0)和(0，-1)，顶点在第四象限，若n=a+b+c，则n的取值范围是______.