二次函数典型例题解析与习题训练

地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-1-二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，a0a0y0xy0x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而增大（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xab2时，y随x的增大而减小（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y有最大值，abacy442最大值3.用待定系数法求二次函数的解析式地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-2-（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式.求抛物线的顶点、对称轴的方法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB4442221221221214.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用（1）a决定开口方向及开口大小：a0，开口向上；a0，开口向下；越大，开口越小（2）b和a决定抛物线对称轴（左同右异）①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c决定抛物线与y轴交点的位置.①0c，抛物线经过原点；②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-3-（4）acb42决定抛物线与x轴的交点个数①0，有2个交点②,0有1个交点；③0，无交点二、例题解析例1已知：二次函数为y=x2－x+m（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值．【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=10，∴开口向上，又∵y=x2－x+m=[x2－x+（12）2]－14+m=（x－12）2+414m∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m）．（2）∵顶点在x轴上方，∴顶点的纵坐标大于0，即414m0∴m14∴m14时，顶点在x轴上方．（3）令x=0，则y=m．即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）．∵AB∥x轴∴B点的纵坐标为m．当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1．∴A（0，m），B（1，m）地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-4-在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│．∵S△AOB=12OA·AB=4．∴12│m│·1=4，∴m=±8故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．例2已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值．（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积．（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=32EP，②EH=23EP．【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，得x1=5，x2=1．由mn，有m=1，n=5．所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c，得10,5bcc解这个方程组，得4,5bc所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5．（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-5-解这个方程，得x1=－5，x2=1．所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示．则S△DMC=12×9×（5－2）=272．S梯形MDBO=12×2×（9+5）=14，S△BDC=12×5×5=252．所以S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+272－252=15．（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．由题意，得①EH=32EP，即（－a2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）．解这个方程，得a=－32或a=－5（舍去）．②EH=23EP，得（－a2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）．解这个方程，得a=－23或a=－5（舍去）．P点的坐标为（－32，0）或（－23，0）．例3已知关于x的二次函数y=x2－mx+212m与y=x2－mx－222m，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-6-增大而减小？【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2－mx+212m．由于b2－4ac=（－m）－4×1×212m=－m2－20，所以此函数的图像与x轴没有交点．对于关于x的二次函数y=x2－mx－222m．由于b2－4ac=（－m）2－4×1×222m=3m2+40，所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点．故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－222m．（2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－222m．得1+m－222m=0．整理，得m2－2m=0．解得m=0或m=2．当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0．解这个方程，得x1=－1，x2=1．此时，点B的坐标是B（1，0）．当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0．解这个方程，得x1=1，x2=3．此时，点B的坐标是B（3，0）．（3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x0时，函数值y随x的增大而减小．当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-7-为x=1，所以当x1时，函数值y随x的增大而减小．【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决．课堂习题一、填空题1．右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_______5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－112s2+23s+32．如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______．7．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．8．杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．地址：文二西路66号世纪新城西区30幢1603星辰教育——专业化的课外辅导咨询热线：85357963-8-二、选择题9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（）A．a0B．abc0C．a+b+c0D．b2－4ac0(第9题)(第12题)(第15题)10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y1y3y211．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．－1B．0C．1D．212．如图所示，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2－x+2B．y=－x2－x+2C．y=x2+x+2D．y=－x2+x+213．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位14．已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）A．（1