3.3-复数的三角形式及其运算

1高二数学教学案主备人审核人使用时间编号课题3.3复数的三角形式及其运算课型新授课学习目标1.掌握复数的三角形式,并能与代数形式进行相互转化;2.掌握复数的三角形式的运算法则和运算律并能熟练应用.学习重点复数的代数形式化为三角形式;复数的三角形式的运算法则和运算律的应用学习难点复数的代数形式化为三角形式;复数的三角形式的运算法则和运算律的应用课前预习案反思一、复数的三角形式:1.复数的辅角：设复数zabi＋（abR、）对应向量OZ，以x轴的正半轴为始边，向量OZ所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数z的辐角，记作Argz，其中适合的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argz．说明：（1）不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍，即Argz=2k+argz．（2）当a∈R+时，arga=0，arg（-a）=π，argai=2，arg（-ai）=-2，arg0不一定。2.复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数zabi＋的三角形式，其中22rzab，=acosr，sin=br．定义本身告诉我们复数的三角形式和代数形式可以互化。3.复数三角形式的运算：设z=r(cosθ＋isinθ)，1z=1r(cosθ1＋isinθ1)，2z=2r(cosθ2＋isinθ2)．则（1）乘法：12121212 zzrrcosisin++＋（向量的旋转与伸缩）（2）除法：111212222 --0zrcosisinzzr＋（3）乘方：()(cossin)nnnzrcosisinrnin＋＋（4）开方：22cos()()(0,1,2sin,1)nnnkkzrcosisinrnnikn＋＋，其几何意义：复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点。课堂导学案例1．求下列复数的模和辐角主值：（1）11iz；（2）2-13zi；（3）334zi；（4）4z=1+cosθ+isinθ(πθ2π)。青州二中高二数学BCA课堂2解题规律小结：复数zxyi＋（xyR、）的辅角主值argz与反正切的主值arctanyx有以下关系：例2请完成下列复数的三角形式和代数形式互化：（1）122iz；（2）2-3zi；（3）36zi；（4）4-5z；（5）54cossin66zi--；(6)6554cossin66zi.解题规律小结：代数形式化三角形式的步骤：（1）求r；(2)确定点Z所在象限并求出辅角θ；（3）写成三角形式。至于三角形式化代数形式，只要展开即可。例3.计算下列各题：（1）2(cos12+isin12)3(cos6+isin6)；（2）4()2443355-66()cosisincosisin；（3）413i；（4）31(xxC）。3例4.OZ对应复数-1+i,将OZ按逆时针方向旋转120º后得到1OZ，求1OZ对应复数1z。例5.求-3-4i的平方根(一题两解)．课后练习案1.下列那一个是复数的三角形式：(A)21(cos3-isin3)(B)-21(cos4+isin4)(C)21(sin54+icos54)(D)cos56+isin562.（2000全国）把复数3-3i对应向量按顺时针方向旋转31，所得向量对应复数为()(A)23(B)-23i(C)3-3i(D)3+3i3.正⊿ABC的顶点A、B、C对应复数ZA、ZB、ZC，点A、B、C按逆时针顺序排列，那么（）(A)ZC=(ZB-ZA)(cos60º+isin60º)(B)ZC=(ZB-ZA)(cos60º-isin60º)(C)ZC=ZB(cos60º+isin60º)(D)ZC=ZA+(ZB-ZA)(cos60º+isin60º)4.计算：（1）8(cos240º+isin240º)2(cos150º-isin150º)=。（2）|3(cos12-isin12)(1+i)2(sin22º+icos22º)|=______________。5.求复数1327（）的模及辐角主值。i6.在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O为原点）.已知Z2对应复数Z2=1+i3，求Z1和Z3所对应的复数.青州二中高二数学BCA课堂47.已知231zi，（1）求|z|的最值；（2）求argz的取值范围。8.已知0＜α＜π，且，复数Z=tanα－i．(1)求Z的三角形式；(2)若|Z|＜2，求argZ的取值范围．9.复数Z满足arg(Z+3)=56π,求|z+6|+|z-3i|最小值.10.设z满足zzzz11213,arg，求z.11.设2512zi（,xyR），求z.12.复数z1与2+4i的积是2-16i，复数z2满足1i)i167(zz21.如果复数z1的辐角主值是，z2的辐角主值是，求+的值.