二次函数最值模型总结

1二次函数最值模型总结一．线段和的最小值：【基本思路：对称，拉直】1．A、B是笔直的公路L同侧的两个村庄，现要在公路L上修建一个公共车站P，若AP+BP的和最小，则公共车站P应建在什么地方？（A，B固定点）辅助线描述：做点A关于直线L的对称点，连接点B与直线L相交于点P，AP转化为1AP，此时AP+BP最小，点P即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）变式一：A，B是笔直的公路L同侧的两个村庄，现要在公路L上修建一个公共车站P、Q，且两个公交车站相距200米，若AP+PQ+BQ的和最小，则公共汽车站P应建在什么地方？（A，B固定点）（1）A，B在异侧辅助线描述：将点A向右移动PQ长度至点1A，连接1AB与直线L相交于点Q，将点Q在直线L上向左移动PQ长度距离至点P，此时AP+PQ+BQ的和最小，点P（Q）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）（2）A，B在同侧辅助线描述：将点A向右移动PQ长度至点1A，作点1A关于直线L的对称点2A，连接2AB与直线L相交于点Q，将点Q在直线L上向左移动PQ长度距离至点P，此时AP+PQ+BQ的和最小，点P（Q）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）2变式二：点A、B在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥修在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的，河的宽度是已知的，桥要与河岸垂直）（A，B固定点）（1）A，B在异侧辅助线描述：将点A向下移动河宽度长度至点1A，连接点B与直线b相交点N，过点N作直线a的垂线交直线a于点M，连接AM，此时AM+NN+NB最小，点M（N）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）（2）A，B在同侧辅助线描述：将点A向下平移河宽度长度至点1A，作点B关于直线b的对称点1B，连接11AB点与直线b相交于点N，过点N作直线b的垂线交直线a于点M,连接MN，此时11AB的值最小，点M(N）即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）2．已知AOB内有两定点P、Q，试在0A、OB上各找一点M、N，使四边形PMNQ的周长最小（P、Q固定点，∠A0B固定）．3辅助线描述：分别作点P，Q关于射线0A和0B对称点1P，1Q连接11PQ分别与射线0A和0B相交于M，N，此时PMQNNMMP最小，此时四边形PMNQ的周长最小，点M，N即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）变式：已知AOB两边上有两点P、Q，试在0A、OB上各找一点M、N，使PMMNNQ的值最小（P、Q固定点，AOB固定）．辅助线描述：分别作点P，Q关于射线0A和0B对称点1P，1Q连接11PQ分别与射线0A和0B相交于M，N，此时PMNMQN的值最小，点M，N即为所求；（应用原理：两点之间线段最短）3.直线L上有一点A，点B为直线外一点，在直线上找点P使得BP+12AP最小（A，B固定点）以顶点A在直线L右侧作sin∠PAM=12（若是特殊三角函数值，也可以直接说角度），再过点B作BQAM交直线L于点P，12AP转化为PQ，此时12BPAP最小，点P即为所求（应用原理：直线外一点，点到直线垂线段最短）变式一：已知AOB，0B上有一点M，在射线0A，0B上分别找点P，Q使得MPPQ最小，求点P的位置（点M固定点，∠A0B固定）辅助线描述：做点M关于射线0A的对称点1M，过点1M作射线0B的垂线，分别与射线0A，0B相较于点P，Q，此时MPPQ最小，点P（Q）即为所求（应用原理：直线外一点，点到真线垂线段最短）变式二：思考：直线L上有一点A，点B为直线外一点，在真线上找点P，使得12BPAP最小；（A，B固定点）4一．求竖直（水平，平行（垂直）于已知线段）线段（三角形周长）的最值：【基本思路：改斜归正】1.竖直线段长度=纵坐标之差的绝对值（根据端点上下的判定去掉绝对值）；2.通常水平线段和三角形周长的问题都通过三角函数转化为竖直线段来计算。例1．已知二次函数223yxx的图像和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC上方的抛物线上一动点P作x轴的垂线PH，垂足是H，线段PH交线段C于点Q，再过P作PGBC于点G．”（1）求线段PQ的最大值；（2）求线段PG的最大值；（3）求△PGQ的周长最大值；二．线段差的最大值：【基本思路：三角形两边之差小于第三边】1．A，B是直线L同侧的两个定点，试在直线L上确定一点P，使APBP的值最大．（A，B固定点）（1）A，B在同侧时辅助线描述：延长BA与直线L相交于点P，此时APBP最小，点P即为所求（应用原理：三角形的构成原理）5（2）A，B在异侧时辅助线描述：作点A关于直线L的对称点1A，延长BA与直线L相交于点P，此时APBP最小，点P即为所求（应用原理：三角形的构成原理）二、多边形面积的最值：二次函数压轴题第（2）问面积的最值：通常是与抛物线有关的三角形或四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上，同理，抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值。（1）通过12水平宽铅垂高求解（几乎可以解决所有面积最值问题）；（3）若定点在坐标轴上，动点在某一个确定的象限内，可以连接原点和动点；（3）作已知直线的平行线，相切时面积最大．6解题策略：结合、分类讨论、转化等数学思想面积最值转化：例1．（2018山东菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．例2．（2018年新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1．6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．7线段和差的最值例1．抛物线245yxx与y轴相交于点C，与x轴相交于点A、B两点，点，D为抛物线的顶点；（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；（2）若点Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA、QC，求QAQC的最大值及此时点Q的坐标；（3）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A点C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，求点P为坐标及线段EF的长；（4）在（3）问的条件下，将P向下平移34个单位得到点H，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL、LK、KH，求线段OL+LK+KH的最小值，并求出此时点L的坐标；（5）在（3）问的条件下，将线段PE沿直线AC的方向平移得到线段11PE，连接1DP，求1111DPPEEB取最小值时点1E的坐标；【解】在（3）问的条件下，11254PEPE，在线段PE平移过程中，PE即11PEPE长度不变，将1DP沿11PE向右平移PE的长即11254PEPE个单位，得到11DE，如图，则四边形111DDPE为平行四边形，故111DPDE，要使得1111DPPEEB最小，即11DPEB最小，即要使11DPEB最小，当1D、1E、B三点共线时，11DPEB最小，8例2．如图①，已知抛物线2323333yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与、y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DHx轴于点H，过点A作AEAC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，，且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF的面积最大值；求当CPF的周长最小时，MPF面积的最大值是多少；（2014•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；图2图1备用图9（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D．(1)求平行线AD、BC之间的距离；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长．106．如图，抛物线y＝－34x2－94x＋33交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点．(1)求点D的坐标和tan∠ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B、D之间的一个动点(不与B、D重合)，在直线BC上有一动点E，在x轴上有一动点F．当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P→E→F的路径运动到点F，再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到A点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G在运动过程中所用时间最少？二次函数与角度的综合解题策略：11证明角的和，差，倍，分常用方法：转化为证明角的相等关系；1．要证明某角等于两角的和：【1】分解法：把大角分成两成部分，证它们分别等于两个小角：【2】合成法：作出两个小角的和，证它与大角等，2．要证明一角等于另一角的2倍：【1】折半法：作出大角的一半，证它与小角相等；【2】加倍法：作出小角的2倍，证它与大角相等；例2．（2018年河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．例．（2018年江苏省扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3,0)，点c的坐标为(0,6)．点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当2t时，线段PQ的中点坐标为________；12（2）当CBQ与PAQ相似时，求t的值；（3）当1t时，抛物线2yxbxc经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示．问该抛物线上是否存在点D，使12MQDMKQ，若存在，求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，说明理由．例3．（2018年内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．（1）求直线l的解析式；（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）取点G（0，﹣1