滤波电路及其设计

7.3滤波电路滤波器种类很多，在现代电子线路中，可根据频率、功率及用途加以选择：在电源滤波电路中，主要使用RC、LC无源滤波器；在信号处理电路中，根据工作频率高低，可使用RC与LC无源滤波器(中高频)、RC有源滤波器(中低频)、数字滤波器(低频，尤其是音频)、晶体滤波器（中频）、声表滤波器(中高频)、带状线滤波器(高频)。在分析由电阻R、电容C、电感L以及线性受控源组成的二端口网络(如无源滤波器、有源滤波器)的频率特性时，一般将网络中的RLC元件阻抗用拉氏表示，即)(sZR=R；)(sZL=sL；)(sZc=sc1，则网络传递函数)()(susuio就是S的代数式，将S换成jω后就获得电压放大倍数)(ωjAu的表达式(频域分析)。图X所示的RC低通滤波器输出RCuiuo)(suo=)(11SusCRsCi+=RCssui+1)(因此传递函数)(sAu=)()(susuio=RCs+11频率特性)(ωjAu=011ωωj+其中0ω=RC1，称为固有角频率。幅频特性)(ωuA=20)(11ωω+或)(lg20ωuA=20)(1lg20ωω+−(dB)当存在负载LR时，一阶无源低通滤波器的传递函数)(sAu=)()(susuio=)(R)(sZsZ+=)(R11sZ+=SRCRR11L++=SRL//R)C(1RRRLL++可见通带放大倍数upA=LLRRR+1(减小了)，而截止频率0ω=//R)C(1LR在增大。一句话，滤波效果变差了！因此一阶无源RC滤波器没有太大应用价值。在滤波器设计中，截止频率（中心频率）f与滤波电容C可大致按表选择。f(Hz)C(uF)f(Hz)C(pF)1-1020-1103-104104-10310-1021-0.1104-105103-102102-1030.1-0.01105-106102-10106-10710-1滤波器阶数与衰减陡度用传输函数)()(susuio表征滤波器特性，因此拉式算符s的幂次称为滤波器的阶数。阶数越大，在截止频率0ω(或0f)附近幅-频特性曲线衰减就越大。例如对于一阶低通滤波器来说，当ω=0ω时，)(ωuA=21(即0.707)，或)(lg20ωuA=-3dB；频率再升高，)(ωuA进一步减小，当ω=100ω时，)(lg20ωuA≈-20dB，即按20dB/十倍频规律衰减。而对于二阶低通滤波器来说，当ω=100ω时，)(lg20ωuA≈-40dB，即按40dB/十倍频规律衰减，即阶数越大，衰减越快。滤波器种类巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔分别设计了不同三种幅频特性的滤波器，其中巴特沃斯滤波器通带最平坦，截止频率pω=0ω(滤波器固有角频率)。贝塞尔滤波器通带内衰减明显，没有共振峰，对低通滤波器来说，截止频率pω0ω；对高通滤波器来说，截止频率pω0ω。而切比雪夫滤波器，通带内有共振峰。7.3.1低通滤波器二阶低通滤波器传递函数一般形式)(sAu=)()(SuSuio=21bsasAup++其中b0，显然，为使系统稳定，分母中一次项系数a0。由于s=jω，因此当ω=0时，s=0，这时)(sAu=upA。可见upA的物理含义是通带内放大倍数。频率特性)(ωjAu=200)()(11ωωωωjjQAup++=200)()(11ffjffjQAup++其中固有角频率0ω=b1，固有频率0f=bπ21，Q=ab，而upA称为通带放大倍数。幅频特性)(ωuA=202201)(1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−ωωωωQAup当ω=0ω时，)(0ωuA=upQA，即Q=upuAA)(0ω。由此可以看出Q值的物理含义是：在ω=0ω处电压放大倍数)(0ωuA与通带内电压放大倍数upA之比就是Q值。在分析滤波器频率特性时，也可以用阻尼系数ζ代替Q值描述，即频率特性)(ωjAu=200)()(21ωωωωζjjAup++=200)()(21ffjffjAup++ζ显然Q与阻尼系数ζ之间关系为ζ=Q21可见二阶低通滤波器频率特性由Q值（或阻尼系数ζ）与固有振荡角频率0ω决定；而在归一化频率特性曲线中，频率特性仅由Q值（或阻尼系数ζ）决定，如图所示。在有源滤波器中，频率特性曲线是否存在共振峰由Q值决定。如果ω为一特定值时，幅频特性分母的导数为0，就存在共振频率Rω，反之就不存在共振峰。⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−202201)(1ωωωωωQdd=0ω=Rω=20211Q−ω=2021ζω−可见Q22(即ζ22)时，存在共振频率Rω，且Q越大(ζ越小)，共振峰越大(意味着稳定性越差)；当Q=22(即ζ=22)时，Rω=0，即不存在共振。根据截止频率的定义，令分母等于2即可求出截止频率pω=12112112220+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−QQω显然当Q21时，存在共振频率Rω=20211Q−ω0，即存在共振峰。可以证明，在这种情况下，1211211222+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−QQ1，即共振频率、固有频率、截止频率三者关系为Rω0ωpω。当Q=21(ζ=21)时，不存在共振频率，截止频率pω=0ω。当Q21(即ζ21)时，不存在共振频率。在这种情况下+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1211211222QQ1，截止频率pω0ω，且Q越小(ζ越大)，pω与固有角频率0ω偏差越大。因此，在有源滤波器电路中，Q≥21(ζ≤21)。巴特沃斯与贝塞尔LPF设计用归一化参数如表所示。巴特沃斯与贝塞尔LPF归一化参数阶数巴特沃斯贝塞尔固有频率0f各阶Q值固有频率0f各阶Q值2f11.00.707107f11.274200.577353f11.00.500000f11.324750.50000f21.01.000000f21.449930.691044f11.00.541196f11.432410.52193f21.01.306563f21.605940.805545f11.00.500000f11.504700.50000f21.00.618034f21.558760.56354f31.01.618034f31.758120.916486f11.00.517638f11.606530.51032f21.00.707107f21.691860.61120f31.01.931852f31.907821.023307f11.00.500000f11.687130.50000f21.00.554958f21.719110.53235f31.00.801938f31.825390.66083f41.02.246980f42.052791.126308f11.00.509796f11.781430.50599f21.00.601345f21.835140.55961f31.00.899976f31.956450.71085f41.02.562915f42.192371.22570在奇数阶滤波器中，Q值为0.5时对应的滤波器为一阶低通(或高通)滤波器。1.1.1.1.二阶压控低通滤波器二阶压控低通滤波器电路如图所示，由R1、C1及R2、C2分别构成两个一阶低通滤波器，但C1接输出端，引入电压正反馈，形成压控滤波器。23184U1AR1R2RFRfC1C2VCCVEEuiuounupui'(1)传递函数ou=pfFuRR⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+1=pupuA，即pu=oFffuRRR+=oupuA1pu='1122iusCR+，即'iu=pusCR)1(22+=oupuAsCR)1(22+利用节点电流法，即求出传递函数)(sAu=)()(SuSuio=2212111212211)(1sRRCCsACRCRCRCRAupup+−+++(2)频率特性)(ωjAu=200)()(21ωωωωζjjAup++=200)()(21ffjffjAup++ζ0ω=21211RRCCζ=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++upACRCRCRCRCRCR121221112211122可见该低通滤波器特点是阻尼系数ζ由电阻R1、R2，C1、C2的比决定；而固有频率0ω与R1、R2、C1、C2具体数值有关，即0ω与ζ独立可调，互不影响。(3)参数选择为方便参数匹配，考虑到标称电容种类较少，一般选择C1=C2=C。通过选择不同的R1、R2满足特定的固有频率0ω、ζ。)(sAu=)()(SuSuio=221212)]2([1sRRCsARRCAupup+−++为使系统稳定，必须保证分母中一次项系数0，即要求)2(12upARR−+0。0ω=2111RRC(C1=C2=C)ζ=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+upARRRR2212112当通带放大倍数upA2(注upA≥2时无解)时，R1、R2解析式为()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−+=−−−−=CARACARupupup022021222ωςςωςς(优先选用)或()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−=−−−+=CARACARupupup022021222ωςςωςς考虑到阻尼系数0ζ≤21，由()22−+upAς≥0可知通带放大倍数1.5≤upA＜2特例一：当通带放大倍数upA取1.5时，ζ=21(特性曲线没有共振峰)，R1=2R2=220Cω。特例二：当C1=C2=C，R1=R2=R时)(sAu=)()(SuSuio=222)3(1sRCsARCAupup+−+为系统稳定，必须保证分母中一次项系数)3(upARC−0，即upA＜30ω=RC1(C1=C2=C，R1=R2=R）ζ=()upA−321考虑到阻尼系数0ζ≤21，则通带放大倍数()23−≤upA＜3当upA=23−时，阻尼系数ζ=21，特性曲线没有共振峰；当()23−＜upA＜3，阻尼系数0ζ＜21，频率特性曲线存在共振峰。2.2.2.2.单位增益二阶压控低通滤波器对于二阶压控低通滤波器来说，当通带放大倍数upA=1(单位增益)时，图所示电路变为图所示，其中RF=R1+R2。23184U1AR1R2RFC1C2VCCVEEuiuounupui'通带增益upA为1的二阶压控低通滤波器(1)基本关系因为pu=nu=ou='11222iusCRsC+='1122iusCR+即'iu=pusCR)1(22+=ousCR)1(22+(2)传递函数利用节点电流法，即求出传递函数)(sAu=)()(SuSuio=221212221)(11sRRCCsCRCR+++(3)频率特性参数显然，upA=10ω=21211RRCCζ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡[phone]CRCRCRCR当R1=R2=R，固有频率、阻尼系数分别为0ω=2111CCRζ=12CC即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==RCRC02011ωςςω阻尼系数ζ取值范围没有限制，当0ζ21时，幅频特性曲线存在共振峰；当ζ=21时，没有共振峰，截止频率pω=0ω，而此时C1=2C2，参数选择非常方便；当ζ21时，没有共振峰，可构成高阶，如3、4或更高阶数的低通滤波器。因此该滤波电路在实际的低通滤波电路中得到了广泛应用。(4)参数选择在固有频率0ω、阻尼系数ζ已知情况下，设计步骤如下：第一，根据截止频率0ω范围，初步确定电容C2。第二，由20CRως=计算电阻R。第三，计算电容C1。3.3.3.3.简单二阶低通滤波器23184U1AR1R2RFRfC1C2VCCVEEuiuounupui'(1)传递函数ou=pfFuRR⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+1=pupuA，即pu=oFffuRRR+=oupuA1pu='1122iusCR+，即'iu=pusCR)1(22+=oupuAsCR)1(22+利用节点电流法，即求出传递函数)(sAu=)()(SuSuio=22121212211)(1sRRCCsCRCRCRAup++++(2)频率特性)(ωjAu=200)()(21ωωωωζjjAup++其中固有角频率0ω=21211CCRR，阻尼系数ζ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111221112221CRCRCRCRCRCR。当C1=C2=C，阻尼系数ζ=⎥