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直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系(1)三种位置关系:、、.(2)两种研究方法:相交相切相离2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r10),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).方法位置关系几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况相离外切相交内切内含dr1+r2无解d=r1+r2一组实数解|r1-r2|dr1+r2两组不同的实数解d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d|r1-r2|(r1≠r2)无解1.两圆不同的位置关系与对应公切线的条数有何关系?提示:当两圆外离时,有4条公切线;当两圆外切时,有3条公切线;当两圆相交时,有2条公切线;当两圆内切时,有1条公切线;当两圆内含时,没有公切线.2.若两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系?提示:两圆的方程作差,消去二次项得到关于x,y的二元一次方程,就是公共弦所在的直线方程.1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心,但与圆相交D.相离解析:选B依题意圆心(-1,0),到直线x-y+1=0的距离d=012+-12=0,所以直线过圆心.2.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离解析:选B两圆的圆心距离为17,两圆的半径之差为1,之和为5,而1175,所以两圆相交.3.设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=()A.1B.2C.3D.2解析:选D因为直线y=x过圆x2+y2=1的圆心(0,0),所以所得弦长|AB|=2.4.若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是____________.解析:依题意知2k2+-121,解得-3k3.答案:(-3,3)5.已知直线5x+12y+m=0与圆x2-2x+y2=0相切,则m=________.解析:由圆x2-2x+y2=0,得(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0),半径为r=1.由于直线和圆相切,则|5+m|52+122=1,得m=8或-18.答案:8或-18考点一直线与圆、圆与圆的位置关系[例1](1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)(2014·温州模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则实数k的取值范围是________________.[自主解答](1)因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=|a·0+b·0-1|a2+b2=1a2+b21,所以直线与圆相交.(2)把圆的方程化为标准方程得x+12k2+(y+1)2=16-34k2,所以16-34k20,解得-833k833,.由题易知点(1,2)应在已知圆的外部,把点代入圆的方程得1+4+k+4+k2-150,即(k-2)·(k+3)0,解得k2或k-3,则实数k的取值范围是-833,-3∪2,833.[答案](1)B(2)-833,-3∪2,833互动探究在本例(2)中的条件“总可以作两条直线”改为“至多能作一条直线”,结果如何?解:依题意知点(1,2)应在圆上或圆的内部,所以有16-34k20,1+4+k+4+k2-15≤0,解得-3≤k≤2.1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离解析:选B法一:由y=x+1,x2+y2=1,消去y,整理得x2+x=0,因为Δ=12-4×1×0=10,所以直线与圆相交.又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),且0≠0+1,所以直线不过圆心.法二:圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径长为1,则圆心到直线y=x+1的距离d=12=22.因为0221,所以直线y=x+1与圆x2+y2=1相交但直线不过圆心.2.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:选D圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,∴圆心C1(-1,-1),半径长r1=2;圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,∴圆心C2(2,1),半径长r2=1.∴d=-1-22+-1-12=13,r1+r2=3,∴dr1+r2,∴两圆外离,∴两圆有4条公切线.考点二与圆有关的弦长问题[例2](1)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8(2)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.33B.-33C.±33D.-3[自主解答](1)圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,圆心C(-1,1),半径r满足r2=2-a,则圆心C到直线x+y+2=0的距离d=21+1=2,所以r2=4+2=2-a⇒a=-4.(2)由于y=1-x2,即x2+y2=1(y≥0),直线l与x2+y2=1(y≥0)交于A,B两点,如图所示,S△AOB=12×1×1×sin∠AOB≤12,且当∠AOB=90°时,S△AOB取得最大值,此时AB=2,点O到直线l的距离为22,则∠OCB=30°,所以直线l的倾斜角为150°,则斜率为-33.[答案](1)B(2)B计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|=1+k2|xA-xB|=1+k2[xA+xB2-4xAxB].1.直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为________.解析:法一:几何法:圆心到直线的距离为d=|0-2|2=2,圆的半径r=2,所以弦长l=2×r2-d2=24-2=22.法二:代数法:联立直线和圆的方程y=x,x2+y-22=4,消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为2-02+2-02=22.答案:222.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为22,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________.解析:由题意,设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意知|a-1|22+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=01.与圆有关的切线问题,是近年来高考在本节命题的一个热点问题,多以选择、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为中、低档题目.2.高考对圆的切线问题的考查主要有以下几个命题角度:(1)过圆上一点求圆的切线方程;(2)过圆外一点求圆的切线方程;(3)与切线长有关的问题;(4)与切线夹角有关的问题.[例3](1)过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.①若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;②若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.[自主解答](1)如图所示,|OP|=|OA|sin∠OPA=2,设P(x,y),则x2+y2=2,x+y-22=0⇒x=2,y=2,故P(2,2).(2)①由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,依题意知,|3k-2+3|k2+1=1,所以k=0或-34,因此,切线方程为y=3或y=-34x+3,即切线方程为y-3=0或3x+4y-12=0.②因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以x2+y-32=2x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤a2+2a-32≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为0,125.[答案](1)(2,2)与圆的切线有关的问题的常见类型与解题策略(1)过圆上一点求圆的切线方程.首先考虑切线斜率不存在时,是否符合要求,其次考虑斜率存在时,由直线与圆相切,求出斜率k,进而得出切线方程.(2)过圆外一点求圆的切线方程.方法同上.(3)与切线长有关的问题.解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形,然后求解.(4)与切线有关的夹角问题.与(3)相同,利用直角三角形解决问题.1.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=0解析:选D设圆心的坐标为(a,0)(a0),又因为直线3x+4y+4=0与圆C相切,所以|3a+4|32+42=2,解得a=2或-143(舍),因此圆的方程为(x-2)2+y2=22,即x2+y2-4x=0.2.(2014·金华模拟)圆心在曲线y=3x(x0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为()A.(x-2)2+y-322=9B.(x-3)2+(y-1)2=1652C.(x-1)2+(y-3)2=1852D.(x-3)2+(y-3)2=9解析:选A设所求圆的圆心坐标是a,3a(a0),则点a,3a(a0)到直线3x+4y+3=0的距离d=3a+12a+35=3a+12a+35≥23a×12a+35=3,当且仅当3a=12a,即a=2时取等号,因此所求圆的圆心坐标是2,32,半径是3,圆的方程为(x-2)2+y-322=9.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法见本节考点一[方法规律].3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点(1)涉及圆的切线时,要注意过切点的半径与切线垂直;(2)当直线与圆相交时,半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用,解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用;(3)判断直线与圆相切,特别是过圆外一点求圆的切线时,应有两条.在解题中,若只求得一条,则说明另一条的斜率不存在,这一点经常忽视,应注意检验、防止出错.前沿热点(十一)直线与圆的综合应用问题1.直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题,常常以解答题的形式出现,并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇,求解参数、函数、最值、圆的方程等问题.2.对于这类问题的求解,首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次要对问题的条件进行全方位的审视,特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘,再次要掌握解决问题常用的思想方法,如数形结合、转化与化归、待定系数及分类讨论等思想方法.[典例]在平
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