材料力学--内部习题集及答案

第二章轴向拉伸和压缩2-1一圆截面直杆，其直径d＝20mm,长L=40m，材料的弹性模量E=200GPa，容重γ＝80kN/m3,杆的上端固定，下端作用有拉力F=4KN，试求此杆的：⑴最大正应力；⑵最大线应变；⑶最大切应力；⑷下端处横截面的位移。BA题2-1图LFBAxF+5004.8N4000N解：首先作直杆的轴力图⑴最大的轴向拉力为232N,max80100.024040005004.8N44dFVFLF故最大正应力为：N,maxN,maxN,maxmax222445004.8=15.94MPa3.140.024FFFAdd⑵最大线应变为:64maxmax915.94100.7971020010E⑶当（为杆内斜截面与横截面的夹角）为45时，maxmax7.97MPa2⑷取A点为x轴起点，2N(25.124000)N4dFVxFxFx故下端处横截面的位移为：240N00025.1240001dd(12.564000)2.87mmLLFxxxxxEAEAEA2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L。已知杆横截面面积为A，长度为L,材料的容重为。xLAB题2-2图AB解：距离A为x处的轴力为N()FxAx所以总伸长2N00()Ldd2LLFxAxLxxEAEAE2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。在结点A处受荷载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P及其方位角θ的大小。BCA1230°30°F题2-3图解:由胡克定律得945112001041080010PaE945222001021040010PaE相应杆上的轴力为11NA22NA561800102001016NKN11182NNKN取A节点为研究对象，由力的平衡方程得1212sin30sin30sincos30cos30cosNNPNNP解上述方程组得10.8921.17PKN2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1＝F2＝F，已知杆的横截面面积为A，材料的应力－应变关系为ε＝cσn，其中c、n为由试验测定的常数。(1)试计算杆的总伸长；(2)如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3)当n＝1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？F1F2aa+FFFN图（a）FN图F+（b）FN图F+（c）题2-4图解：（１）轴力图如图（a）所示。根据nc：112()nllFclaA12nnnFlacA22()nllFclaA2nnFlacA则12(21)nnnacFlllA（２）采用叠加法。单独作用F1时，轴力图如图（b）所示。1()nlFcaA1nnFlacA单独作用F2时，轴力图如图（c）所示。2()2nlFcaA22nnFlacA则3nnacFlA（３）当n=1时，上述两解答相同。结论：只有当与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。2-5试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA。(a)(c)DCBF题2-5图F(b)FCDFBCCC'ΔlCD45°解：取C点分析受力情况，如图（b）所示，得,0CDBCFFF因此只有CD杆有伸长CDFLlEA变形几何图如图（c）所示，得FLxyEA。2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。已知钢丝的E＝210GPa，绳横截面面积A＝100mm2，荷载F＝20KN，试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。解：首先要求绳的内力T。刚性梁ABCD的受力分析如图()b，由平衡方程：0AM解得：80KN7T绳的原长2428mL绳的伸长量为33968010874.3510m2101010010TLLEA在F作用下结构变形如图()c，可得：5m3m1m2m题2-6图PBGCHDFATFTPBGCHDA(b)(c)(a)34.3510mBDLLL(1)再由三角几何关系得：59BDLABLAD(2)由(1)、(2)式联立可得：31.5510mBL又因为：58BCLABLAC所以，32.4910m2.49mmCL2-7图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径d1=20mm，E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径d2＝25mm，E2=100GPa，试求：(1)外力F作用在何处(x＝？)时AB梁保持水平？(2)如此时F＝30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：(1).容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为122,22NNxxFFFF从而AC杆、BD杆的伸长量11111122111111222222222222224444NNNFllxFlFllEAEdEdlFlFlFlxlEAEdEdl若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即12ll.于是,1222112244.FllxFlxEdlEdl2921222292921222111.5100100.02521.5100100.0251200100.0201.08lEdlxlEdlEdm(2).当30,1.08FkNxm时，两拉杆横截面上的正应力分别为3112211322222222301021.082443.140.024230101.082333.140.0254NNxFFMPadAxFFMPadA1.5m1mxACPBD题2-7图2m2-8图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC方向作用两力F＝20kN，各杆弹性模量E=200GPa，横截面面积A＝500mm2，L＝1m，试求：(1)AC之间的相对位移△AC，(2)若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移△BD又如何？解：(1)取A节点为研究对象，受力分析如图(b)由平衡方程：0AXF,cos450ABFF0,sin450AYADFFF得21022ABADFFFkN同理，可得：102CDCBFFkNB节点受力分析如图(c)0XF，20cos45ABBDFFkNAB,BC,CD,DA四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应变能相同，可求得整个杆件应变能为：22246.8222ABBDFFLJEAEA力F作的功为：12ACWF由弹性体的功能原理得：W16.822ACF36.8220.6822010ACmm2当两力F移至.BD两点时，可知，只有BD杆受力，轴力为F所以21222BDFLFEA从而3962220100.2832001050010BDFLmmEA2-9图示结构，已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2,E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。3m30°30°F=10kN题2-9图DABCE30°30°F=10kNyxOFNABFNDFNEDABCE2m2mB3mABCDAABCDFFFF(a)B题2-8图(b)(c)(d)解：取AB为研究对象，选取如图所示坐标轴，故0xF，即NDNEFF,0yF,即2sin300NANDFFF,于是得NANDFFF，0AM，即32sin3060NDFF，于是221020KNNDFF，解得：20KNNEF，10KNNAF所有构件的应变能为*23max10030460202010160202360430468011270100.7MPa1MPa240.580.3ABBSzSzzFFFFSFhbIbIb由功能原理得，F作的功在数值上等于该结构的应变能即：12BFV所以32242.58.5mm1010BVF.2-10图示结构，已知四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力，并求下端B点的位移。q=F/aABCDB(a)题2-10图q=F/aCD(b)q=F/aAB'CDB(c)BB''FF(d)xyxyF3F4F1F2F3F4F刚性杆解：(1)以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示由0xF得34FF得3422FFF以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示由0xF得12FF由0yF得12(21)2FFF(2)由于1，2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以及B结点的下降（如图（c））1112(21)222BFaFlllEAEA由于3，4杆的伸长引起B点的继续下降（如图（d））23322222BFaFaFallEAEAEA则12(22)BBBlllFaEA2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。(1)如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？(2)如改变ɑ角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N.GaaFF即cos250F而221.70.4()()22cos0.9721.72则2502572900.972FNN于是,此时绳子不会被拉断.(2)绳子被拉断时cos250uF其中290uFN则220.4()()25022cos0.8622902LL解得:0.789Lm答：(1)N=417N(2)L=1.988mGaa题2-11图LDBFCEx12题2-12图2-12图示结构，BC为刚性杆,长度为L,杆1、2的横截面面积均为A，其容许应力分别为[σ1]和[σ2]，且[σ1]=2[σ2]，荷载可沿梁BC移动,其移动范围0＜x＜L,试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少？解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A，而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式[]FA可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。本题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点x的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即2BDECFF此时，对力的作用点求矩得：()0BDECFxFLx解得：3Lx此时，由竖直方向的受力平衡得：max1213[][][]2BDECFFFAAA2-13图示结构，AC为刚性杆,BD为斜撑杆,荷载F可沿杆AC移动,试问：为使BD杆的重量最轻,BD杆与AC杆之间的夹角θ应取何值？LBCD刚性杆FA解：如图所示，取整体为研究对象，对A点取钜，由0AM得：sincos0BDBDFLFl而[]BDBDFA则1sin2[]2BDBDBDBDFLAlWAl要想使重量最轻，应该使sin2θ最大，即2θ=90º解得：θ=45ºFBACD3m3m2m题2-14图2-14铰接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力[σ]=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。取整体为研究对象，对A点取钜，由0AM得：260DFF解得：13DFF取D节点为研究对象，由平衡方程得：则可以解得：1.80.60.83F0.5BDDCDBDFFFFFDFDFCDFBD