现代信号处理第五章高阶倒谱

研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学第五章高阶倒谱(Higher-OrderCepstrum)多倒谱(Polycepstra)5.1引言倒谱作为信号处理技术昀初由Bogert，Healy和Tukey[1963]引入。Oppenheim[1969]引入同态滤波（HomomorphicFiltering）作为一类非线性信号处理技术，倒谱作为特例也包含其中。同态滤波或倒谱分析是一种非参数方法，因此，它对大多数信号均有效，包括那些非昀小相位信号和用零极点表征的信号。虽然信号的倒谱是一种简单的变换，但它具有丰富的性质和广泛的应用。已经应用于语言、地理学、声纳、生物医学、图像处理等领域。本章详细介绍高阶倒谱的性质和计算以及他们在非线性相位重构和解卷积中的应用。同时也介绍确定性能量信号和随机线性非高斯信号的多倒谱。5.2确定性能量信号的复倒谱`5.2.1信号假设考虑一ARMA能量序列()hk，其Z变换一般是非昀小相位的，可写为1()()()rHzAzIzOz(5.1)其中A为常数，r为整数，且3111111)1()1()(LiiLiizczazI(5.2)21)1()(LiizbzO(5.3)分别是昀小相位和昀大相位分量，1,1,1iiiabc。极点ic和零点ia位于单位圆内，而零点在单位圆外。注意到（5.3）式中没包含昀大相位极点没有特别的理由，倒谱分析对昀大相位极点也有效。}/1{ib信号的昀小相位分量为授课教师：姬红兵教授[e-mail]60更新日期2010年4月20日研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]61更新日期2010年4月20日1()()exp{},k02ikIjkd（因果序列）(5.4.1)昀大相位分量为1()()exp{},k02OkOjkd（反因果序列）(5.4.2)其中，()(),()()jjIIeOOe,将有如下线性卷积运算“*”：，nnkonikokikh)()()(*)()(k(5.4.3)5.2.2定义如果计算复对数log()Hz。（5.1）~（5.3）式变为32111111)1log()1log()1log()log()log()](log[LiiLiiLiirzczbzazAzH(5.5)rz项对应于一线性相移，它在信号的高阶谱域被抑制。参数A对信号形状无贡献，因此，假设为正。这样（5.5）式变为32111111)1log()1log()1log(log)](log[LiiLiiLiizczbzaAzH(5.6)信号的复倒谱定义为hcmlog()Hz的Z反变换，为)]([log)]([log21)(111zHZdzzzHjmcmch(5.7)其中，积分围线C位于收敛域内。复倒谱也可用IFT表示。111()log[()]exp{}[log|()|()]2hhcmHjmdFHj(5.8)其中研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]62更新日期2010年4月20日()()exp{()}hHHj(5.9)注意：和分别表示一维Z变换和Z反变换。][1Z][11Z][1F和分别为一维傅立叶变换和反变换。][11F利用幂级数展开公式：1,)1log(1xnxxnn有innniiazznaza,)1log(11innniibzznbzb/1,)1log(1合并(5.6)和(5.7)式可得复倒谱的一般表示式0,0,0,log)()()(mmBmmAmAmcmmh(5.10)其中31()11LLmmiiiiAamc2()1LmiimBb(5.11)是倒谱参数，他们分别包含了昀小和昀大相位信息。注意，对于MA信号，（5.11）式中没有的第二项。()mA5.2.3性质复倒谱具有以下性质：(i)复倒谱()hcm至少以与1m一样的速度衰减。倒谱参数()mA和()mB随|m|呈指数衰减；(ii))(mch总有无限持续期；(iii)如果)(kh为实，其复倒谱也为实；(iv)当且仅当)(kh为昀小相位时，对于所有0m有0)(mB。同样，当且仅当)(kh为研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]63更新日期2010年4月20日昀大相位时，对所有的0m，有0)(mA；(v)如果)(*)，则有)(()(kxkhky)()mcmn(mccxy。即线性卷积运算在复倒谱域变成了求和运算。将该性质用于（5.4.3）式可得)(mco)()mcmi(ch，其中和)(mco分别是)(ki和)(ko的复倒谱。实际上有)(mci0,)()(mAmcmim和0,)(Bm)(mcmom。5.2.4复倒谱计算和解相位模糊（Unwrapping）为了使复倒谱存在，需要保证|)(|logH为连续。然而，)(h可以是不连续的，因为在每个频率处，可加2)(的任意整数倍，即)(arg[2)](kHh(5.12)其中)](arg[H为相位的主值，)(k为整数。为了使)(h为连续曲线，)(k应取合适的整数值，从而可解)](arg[H主值的模糊。例5.1（略）许多实际情况中，不能可靠地检测主值的不连续。因此，实际中解相位模糊变得非常困难。虽然（5.8）式中计算复倒谱看起来简单，但由于在用前需要对][11F)(h解模糊，所以使得该方法是困难的。事实上，解相位模糊认为是基于倒谱信号处理算法的“主要弊端”。本章将证明如何在计算复倒谱中用高阶谱的结果，而无需解相位模糊算法。)(mchTribolet【1977】引入一种解相位模糊算法，它假设已知相位的导数'()()hhdd在点1,2N,,1,0N处的值。而处的相位导数可利用下式准确计算，Im)()(')]([)]([Im)(11'khFkjkhFHHh(5.13)如果ˆ()h为估计的解模糊相位，则Tribolet算法基于递归公式ˆ()h''1ˆ()()()2hhh1(5.14.1)研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]64更新日期2010年4月20日其中，初始的2N，且ˆ()arg[()]2()hHk(5.14.2)Tribolet指出当整数)(k存在时，对于某些,是一致的，即有zE)(ˆhˆ|()arg[()]2()|hHkEZ(5.14.3)因此，如果不是一致的，则应选取更小的)(ˆh（如2/），重复整个过程直到满足（5.14.3）式。显然，的选择决定该算法的性能。已经发现解相位模糊算法对噪声非常敏感，即使在高SNR情况下。zE5.3确定性能量信号的微分倒谱微分倒谱是一种计算（5.11）式定义的倒谱参数的新工具（Polydoros和Fam1981年），它不需要解相位算法。微分倒谱是平移不变的，它与复倒谱的关系是简单的。)()(,mmBA5.3.1定义hk或(Hz)的微分倒谱定义为)()()(11zHdzzdHZmdh（5.15.1）或以H表示为1'()()exp{(1)}2()hHdmjmdjH(5.15.2)其中'()()HdHd。也可以直接用倒谱参数表示为)()(mmBA和012,,0,)()1()1(mmmBAmdmmh(5.16)合并(5.10)、（5.11）和（5.16）式可得复倒谱与微分倒谱的关系1()(1),(0)hhcmdmmm(5.17)研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]65更新日期2010年4月20日5.3.2性质复倒谱的性质(ii)~(iv)同样适用于微分倒谱。微分倒谱还有另外一些性质。(i)微分倒谱随m呈指数衰减；(ii)如果)(*)，则有)(()(kxkhky)()(mdmdmdxny。因此，)(,其中)(mdi和)(mdo分别是)(ki和)(ko的微分倒谱。实际上，，0，注意，(1)0h)()(mdmdmdoih(1)(),2midmAm(1)(),mBmodmd。(iii)平移不变性。该性质很重要，但复倒谱不具有。如果用)(rhd表示(5.1)式中)(zH的微分倒谱，其中整数r对应于线性相移rz，则有(5.18)1,1),()()0()(mrmmdmdhrh这一性质意味着，在输入序列的一个时延下，除了描述时延度量的第一个样点外，其微分倒谱不变。(iv)尺度不变性。从（5.15）式中的除法可易于得出)(mdh与（5.1）中定义的标量A无关。(v)冲激响应的昀小相位和昀大相位分量的微分倒谱与输入序列存在以下递推关系：12)1()(1)(kmimkimdkki，(5.19.1)1k0011()()(1)mkokdmokmk，1k，(0)(0)1io(5.19.2)注意，当时，，当k0)(kik时，。合并（5.19）与（5.16）式，可得倒谱参数与冲击响应之间的递推关系：0)(ko1(1)21()(1),1kmmikAikmkk(5.20.1)0(1)11()(1),1mmkokBokmkk(5.20.2)上两式是重要的。已知或，即已知倒谱参数，利用关系式（5.20）可以重构与，进而从（5.4.3）式可重构信号。()hcm()hdm)()(mmBA和()hk()ik()ok研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]66更新日期2010年4月20日5.3.3微分倒谱的计算将（5.15.2）式作DFT处理可计算微分倒谱（将N2代入（5.15.2）式）：)}1(exp{)()(1)(ˆ10'mjHHNjmdNh(5.21)其中N2，且10}exp{)()(NkkjkhH(5.22.1)和10()'()()exp{}NkdHHjkhkjdk(5.22.2)利用微分倒谱，可避免解相位模糊算法，然而，其代价是更严重的混叠，因为现在有1ˆ()()(hrdmmrNdmrNm)h(5.23)5.4确知信号和随机信号的功率倒谱对于确知能量信号和平稳随机信号可定义功率倒谱。对于确知信号，能量谱定义为：)()()(12zHzHzMh(5.23.1)而对于随机信号，总可以找到一能准确表示随机信号的功率谱的线性模型，如)(ZH)()()(122ZHZHZCwh(5.23.2)换句话说，该随机过程可以看作是用一白噪声