复数方程典型例题

题型一复数的一元一次方程1.[2013·新课标全国卷Ⅰ]若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－45C．4D.452.[2012·安徽卷]复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝()A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i3.[2011·江苏卷]设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．题型二实数的二元一次方程1.[2012·江苏卷]设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．8[解析]本题考查复数的四则运算．解题突破口为将所给等式右边的分子、分母同时乘以分母的共轭复数即可．因为11－7i1－2i＝11－7i1＋2i5＝5＋3i，所以a＝5，b＝3.2.[2012·湖北卷]若3＋bi1－i＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.[答案]3[解析]由3＋bi1－i＝a＋bi，得3＋bi＝(a＋bi)(1－i)＝a＋b＋(b－a)i，即a＋b－3－ai＝0.所以a＋b－3＝0，－a＝0，解得a＝0，b＝3，所以a＋b＝3.3.[2006·湖北卷]设,xy为实数，且511213xyiii，则xy4。4.[2006·浙江卷]已知niim11，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni=（A）1+2i（B）1－2i（C）2+i（D）2－I题型三复数的二元方程（组）1.[2006·上海卷]若复数z同时满足iizzizz(,2为虚数单位），则z=.2.设z的共轭复数是z，若4zz，8zz，则zz等于（）A．iB．iC．1D．i3.设复数z满足关系式i2|z|z，那么z等于（D）（A）i43（B）i43（C）i43（D）i43题型四复数范围内解一元二次方程1.[2012·湖北卷]方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i1．A[解析](解法一)x＝－6±62－4×132＝－3±2i，故选A.(解法二)将A，B，C，D各项代入方程验证，发现只有A项中的－3＋2i，满足()－3＋2i2＋6()－3＋2i＋13＝9－12i－4－18＋12i＋13＝0.故选A.2.[2012·上海卷]若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1D．b＝2，c＝－12．B[解析]考查复数的概念和一元二次方程中根与系数的关系(即韦达定理)，可利用方程的两根是共轭复数解题．由韦达定理可知：－b＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2，∴b＝－2，c＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋2＝3，∴c＝3，所以选B.此题还可以直接把复数根1＋2i代入方程中，利用复数相等求解．3.[2007·上海卷]已知2,aibi是实系数一元二次方程20xpxq的两根，则,pq的值为A、4,5pqB、4,5pqC、4,5pqD、4,5pq3.【答案】A【解析】因为，（i是虚数单位）是实系数一元二次方程20xpxq的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程20xpxq的两个根是2i所以[(2)(2)]4,(2)(2)5.piiqii。