24、圆锥曲线专题第四节圆锥曲线中角度与斜率问题1配套题答案与解析

1一．选择题（共7小题）1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（　　）A．B．C．D．1【分析】由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，列出方程组求出a=2，b=，从而得到椭圆方程为，再由直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，∴，解得a=2，b=，∴椭圆方程为，∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率k==．故选：C．2【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法的合理运用．2．过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（　　）A．1B．2C．1D．2【分析】由椭圆方程，a，b，c．直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得k值，从而解决问题．【解答】解：由椭圆方程，a=，b=1，c=1，则点F为（1，0）．直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x0==﹣，y0=k（x0+1）=，由点M在直线x+2y=0上，知﹣2k2+2k=0，∵k≠0，∴k=1．故选：A．【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质，直线与椭圆方程的综合应用，考查运算求解能力，考查方程思想．属于中档题．3．若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为（　　）A．1B．﹣1C．﹣D．以上都不对【分析】先利用数形结合结合的方法把理解为是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率，显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线方程与抛物线方程联立，根据判别式等于0求得k．【解答】解：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率，显然直线与椭圆相切时取得最值，3设直线y=k（x﹣2）代入椭圆方程（4+k2）x2﹣4k2x+4k2﹣4=0．令△=0，k=±．∴kmin=﹣；故选：C．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用的几何意义，利用数形结合的方法来解决．4．若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则=（　　）A．B．C．D．【分析】由直线x+y﹣1=0，可得y=﹣x+1代入mx2+ny2=1得：（m+n）x2﹣2nx+n﹣1=0，利用韦达定理，确定M的坐标，再利用过原点与线段AB中点的直线的斜率为，即可得到结论．【解答】解：由直线x+y﹣1=0，可得y=﹣x+1代入mx2+ny2=1得：（m+n）x2﹣2nx+n﹣1=0设A、B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则有：x1+x2=，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣（x1+x2）=∴M的坐标为：（，），∴0M的斜率k==故选：B．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是直线与椭圆方程的联立．5．过点A（﹣2，3）作直线与抛物线y2=8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）A．B．C．D．【分析】求出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜4率公式求出BF的斜率．【解答】解：抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2m，又导数y′=2••，则在切点处的斜率为，∴=即m+2=2m﹣3，解得=2（﹣舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为=，故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道中档题．6．如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为+=1（a＞b＞0），若直线AC与BD的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为（　　）A．B．C．D．【分析】法一：设出切线AC和BD的方程，与椭圆方程联立消去y，根据判别式等于0求得k1和k2的表达式，根据AC与BD的斜率之积求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得．法二：AC的方程为=1，直线BD的方程为，kAC•kAB=，从而，设，，由此能求出e．【解答】解法一：设切线AC的方程为y=k1（x﹣ma），5则，消去y得（b2+a2k12）x2﹣2ma3k12x+m2a4k12﹣a2b2=0由△=0，得k12=•，同理k22=•（m2﹣1）∴k12•k22=，∵直线AC与BD的斜率之积为﹣，∴=，∴a=2b，c=，∴e=．故选：C．解法二：椭圆在其上一点P（x0，y0）处的切点方程为，设C（x1，y1），D（x2，y2），由于内外两个椭圆的离心率相同，则可设外层椭圆的方程为，（m＞1），则A（ma，0），B（0，mb），内层椭圆在点C处的切线方程为=1，而AC的方程为=1，其斜率为=﹣=﹣，直线BD的方程为，其斜率为，∴=，①，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。6直线AC过点A（ma，0），则有，∴m=，直线BD过点B（0，mb），则有，∴m=，∴，∴，设，，不妨设点C为第一象限内的点，则点D为第二象限内的点，则θ为锐角，φ为钝角，则=，∴cosθ=sinφ=cos（φ﹣），则φ﹣为锐角，∴，∴φ=，∴cosφ=cos（）=﹣sinθ，由①式得，===﹣=﹣，∴a2=4b2，∴，∴c=，∴e=．故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，解题过程要注意运算的正确性．7．已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为（　　）A．±B．C．±D．【分析】先确定圆P的标准方程，求出圆心与直径长，设出l的方程，代入7抛物线方程，求出|AD|，利用线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，可得直线l的斜率的值．【解答】解：圆P的方程为x2+（y2）2=4，则其直径长|BC|=4，圆心为P（0，2），∵AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，∴|AB|+|CD|=2|BC|=8，即|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=3|BC|=12，设直线l的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x2=8y得：x28kx16=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），有，∴|AD|==8（k2+1），∴8（k2+1）=12，即k2=，解得k=±，∴直线l的斜率为±，故选：A．【点评】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定|AD|是关键，综合性较强，运算量较大．二．解答题（共3小题）88．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a、b的值，再写出椭圆的方程；（Ⅱ）设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB的方程以及k的值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e=，∴=；又a2=b2+c2，∴2a=3b，由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；可得ab=6，从而解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；又|AQ|=，且∠OAB=，∴|AQ|=y2，由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；9由方程组，消去x，可得y1=，∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，解得k=或k=；∴k的值为或．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等知识的应用问题，也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题，考查了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力．9．如图，焦点在x轴上的椭圆C1与焦点在y轴上的椭圆C2都过点M（0，1），中心都在坐标原点，且椭圆C1与C2的离心率均为．（Ⅰ）求椭圆C1与椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与C1，C2交于点A，B（点A、B不同于点M），当△MAB的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解a，b得到椭圆C1与椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，MA：y=k1x+1，与椭圆方程联立，求出A、B．得到向量，求出三角形的面积，利用函数的导数，求解即可．10【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）依题意得对C1：b=1，，解得a=2，得C1：；同理C2：…（6分）（Ⅱ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则MA：y=k1x+1，与椭圆方程联立得：，得，得，，所以，同理可得．所以，从而可以求得，因为k1k2=﹣1，所以，不妨设，f′（k）=0，∴，所以当S最大时，，此时两直线MA，MB斜率的比值…（12分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，11考查转化思想以及计算能力．10．已知椭圆C1：（a＞1）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．（1）求点M的轨迹C2的方程；（2）当直线AB与椭圆C1相切，交C2于点A，B，当∠AOB=90°时，求AB的直线方程．【分析】（1）利用椭圆离心率转化判断M的轨迹是以l2为准线，F2为焦点的抛物线，求解即可．（2）显然当AB斜率不存在时，不符合条件．当AB斜率存在时，设AB：y=kx+m，联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）通过韦达定理结合OA⊥OB，转化求解即可．【解答】解：（1）由，得，c=1，故F1（﹣1，0），F2（1，0），依条件可知|MP|=|MF2|，∴M的轨迹是以l2为准线，F2为焦点的抛物线，∴C2的方程为y2=4x．（2）显然当AB斜率不存在时，不符合条件．当AB斜率存在时，设AB：y=kx+m，由消y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵AB与C1相切，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，得m2=2k2+1＞1，①又由消y得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，12且有得k≠0，km＜1，∵OA⊥OB，∴=，得m=﹣4k，联立①，得，故AB方程为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，派遣证底薪是求法，直线与篇文章的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．