数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法(一)（一）主要知识：1．数列的概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的一般形式数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．3．数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列：项数有限的数列；无穷数列：项数无限的数列．(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；常数列：各项相等的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．数列的表示方法：1列举法；2图象法；3解析法（通项公式）数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4递推法．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式3.na与nS的关系：1121(1)(2)nnnnnSnSaaaaSSn．（二）主要方法：数列通项公式的求法：1观察分析法；2公式法：1112nnnSnaSSn3转化成等差、等比数列；4累加、累乘法；5递推法。（三）典例分析：一、根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，…(5)0,1,0,1，…解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n(n∈N*)．(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n(n∈N*)．(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1(n∈N*)．(5)an＝0(n为奇数)1(n为偶数)或an＝1＋(－1)n2(n∈N*)或an＝1＋cosnπ2(n∈N*)．总结解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．变式训练1写出下面数列的一个通项公式．(1)212，414，618，8116，…；(2)10,11,10,11,10,11，…；(3)－1，85，－157，249，….解(1)这是个混合数列，可看成2＋12，4＋14，6＋18，8＋116，….故通项公式an＝2n＋12n(n∈N*)．(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：10＋0,10＋1,10＋0,10＋1，….故其一个通项为：an＝10＋1＋(－1)n2，或an＝10，n为奇数11，n为偶数.(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－33，则分母为3,5,7,9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2)，所以原数列通项为：an＝(－1)nn2＋2n2n＋1(n∈N*)．根据下面各数列的前几项值，写出数列的一个通项公式：123，415，635，863，1099，…；21，13，935，1763，3399，…；31，0，13，0，15，0，17，0，…；45，0，5，0，5，0，5，0，…；53，5，9，17，33，…；二、根据递推公式写出数列的前几项例2设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋1an－1(n1，n∈N*).写出这个数列的前5项．解由题意可知a1＝1，a2＝1＋1a1＝1＋11＝2，a3＝1＋1a2＝1＋12＝32，a4＝1＋1a3＝1＋23＝53，a5＝1＋1a4＝1＋35＝85.总结由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法变式训练2在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.三、数列通项公式的应用例3已知数列9n2－9n＋29n2－1；(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解设f(n)＝9n2－9n＋29n2－1＝(3n－1)(3n－2)(3n－1)(3n＋1)＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝2831.(2)解令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无自然数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明∵an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，又n∈N*，∴033n＋11，∴0an1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解令13an＝3n－23n＋123，则3n＋19n－69n－66n＋2，即n76n83.∴76n83.又∵n∈N*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23上有数列中的项，且只有一项为a2＝47.总结判断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列的项．变式训练3已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(n＋1)(2n－1)(2n＋1).(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．解(1)a10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n＋1(2n－1)(2n＋1)＝233，化简得：8n2－33n－35＝0，解得n＝5.当n＝5时，a5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项.小结1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝－1(n＝2k－1)，1(n＝2k)，其中k∈N*.例4．根据下列各个数列na的首项和递推关系，求其通项公式：110a,121nnaan*nN；211a，11nnnaan2n≥；311a，122nnnaaa，*nN；4112a，1112nnaa*nN例5．已知下面各数列na的前n项和nS，求na的通项公式:1232nSnn;23nnSb例6．1求数列2293nn中的最大项；2已知数列na的通项公式9110nnan，求n为何值时，na取最大值.例7．设2()loglog4xfxx01x，又知数列na的通项na满足(2)2nafn*nN，1试求数列na的通项公式；2判断数列na的增减性.课时作业一、选择题1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n(n－1)2C．an＝n(n＋1)2D．an＝n2＋12．已知数列{an}中，an＝2n＋1，那么a2n为()A．2n＋1B．4n－1C．4n＋1D．4n3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()A．an＝12[1＋(－1)n－1]B．an＝12[1－cos(n·180°)]C．an＝sin2(n·90°)D．an＝(n－1)(n－2)＋12[1＋(－1)n－1]解析令n＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的()A．第5项B．第6项C．第7项D．非任何一项解析n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．5．设an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2解析∵an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n∴an＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2∴an＋1－an＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.二、填空题6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是an=2n+17．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是__55____解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1+2+3+4+…+10=55.8．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是__an＝a＋b2＋(－1)n＋1a－b2解析a＝a＋b2＋a－b2，b＝a＋b2－a－b2，故an＝a＋b2＋(－1)n＋1a－b2.三、解答题9．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n-1)个点，故第n个图中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1.10．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2.(1)求a3＋a5；(2)探究256225是否为此数列中的项；(3)试比较an与an＋1(n≥2)的大小．解由题意知：an＝n2(n－1)2(n≥2)．(1)a3＋a5＝94＋2516＝6116.(2)256225＝162152＝a16，∴256225为数列中的项．(3)n≥2时，an－an＋1＝n2(n－1)2－(n＋1)2n2＝n4－(n2－1)2(n－1)2n20，∴anan＋1.（四）巩固练习：1.在数列{na}中,1=a1,当()nN时，1nnaan，则100a的值为（）A5050B5051B4950C49512.已知数列{}na的前n项和29nSn