上海地区高一数学知识点归纳

1上海高一数学知识点归纳第一章集合与命题1.1集合与元素（1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合.（2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().（6）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.1.2集合与集合名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA中的任一元素都属于B(1)AA(2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则ABA(B)或BA真子集AB（或BA）BA，且B中至少有一元素不属于A(1)A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等ABA中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)重要结论：已知集合A有(1)nn个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它21n个非空子集，它有22n非空真子集.21.3集合的基本运算交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB{|,xxA且}xB（1）AAA（2）A（3）ABAABBBA并集AB{|,xxA或}xB（1）AAA（2）AA（3）ABAABBBA补集ACU{|,}xxUxA且BCACBACUUUBCACBACUUU1.4命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.（3）否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.（4）逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”。1.5充分条件与必要条件充分条件、必要条件、充要条件如果PQ,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。如果PQ,那么P是Q的充要条件。也就是说，命题P与命题Q是等价命题。1.6命题的运算命题的非运算命题的且运算命题的或运算1.7抽屉原则与平均数原则第二章不等式32.1不等式的基本性质1.如果.;,cacbba那么2.如果.,cbcaba那么3.如果.,0,:,0,bcaccbabcaccba那么如果那么4.如果,,dcba.dbca那么5.如果.,0,0bdacdcba那么6.如果0ba，那么.110ba7.如果0ba，那么)(Nnbann.8.如果0ba,那么).1,(nNnbann2.2一元二次不等式的解法这个知识点很重要，可根据与0的关系来求解，注意解的区间的表示，不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式。求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.区间的概念及表示法设,ab是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]ab；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(,)ab；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)ab，(,]ab；满足,,,xaxaxbxb的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,)aabb．注意：对于集合{|}xaxb与区间(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．2.3其他不等式的解法（1）分式不等式的解法先移项通分标准化，则4()0()()0()()()0()0()0()fxfxgxgxfxgxfxgxgx（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.（2）含绝对值不等式的解法不等式解集||(0)xaa{|}xaxa||(0)xaa|xxa或}xa||,||(0)axbcaxbcc把axb看成一个整体，化成||xa，||(0)xaa型不等式来求解两个基本不等式：1.对任意实数,ba和有,222abba当且仅当ba时等号成立。2.对任意正数,ba和有abba222，当且仅当ba时等号成立。我们把abba和222分别叫做正数ba、的算术平均数和几何平均数。（3）无理不等式的解法方法：将无理不等式转化为有理不等式求解，⑴2()0()(0)()fxfxaafxa⑵2()0()(0)()fxfxaafxa⑶2()0()0()()()0()0()[()]fxfxfxgxgxgxfxgx或⑷2()0()()()0()[()]fxfxgxgxfxgx⑸()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx5（4）高次不等式的解法方法：穿根法分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.2.4基本不等式及其应用1.222abababR，,（当且仅当ab时取号）.2.abba2abR，,（当且仅当ab时取到等号）.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.2.5不等式的证明常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242aa②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kkk211,(1)kkk2212(),21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk第三章．函数的基本性质3.1函数的概念在某个变化过程中有两个变量yx,，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数.记作：xfyDxx是自变量D是定义域与x对应的y值叫做函数值函数值的集合是值域3.2函数关系的建立函数的三要素:定义域、值域和对应法则．表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．63.3函数的运算函数的和：xgxfxh3.4函数的性质（1）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数()fx为奇函数，且在0x处有定义，则(0)0f．（2）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．．x．2．时，都有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．．x．2．时，都有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（3）函数的最值7①一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，我们称M是函数()fx的最大值，记作max()fxM．②一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有()fxm；（2）（2）存在0xI，使得0()fxm．那么，我们称m是函数()fx的最小值，记作max()fxm．（4）函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．3、函数零点的求法：求函数)(xfy的零点：○1（代数法）求方程0)(xf的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的8第四章幂函数、指数函数和对数函数4.1幂函数的性质（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．4.2指数函数的图像与性质9函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a