高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式2课件3新人教A版

1.3三角函数的诱导公式(二)【知识提炼】1.诱导公式五、六cossinsin2.公式五和公式六的语言概括(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的___________函数值.(2)符号：函数值前面加上一_________________原函数值的符号.(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现___________________的相互转化.2余弦(正弦)个把α看成锐角时正弦函数与余弦函数【即时小测】1.思考下列问题(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角吗？提示：角α不仅是锐角，可以是任意角.(2)如何利用公式三和公式五推导出公式六？提示：sin()sin[()]cos()cos22，cos()cos[()]sin()sin.222.化简：sin(+α)=________.【解析】答案：-cosα323sin()sin[()]sin()cos.2223.计算：sin211°+sin279°=_______.【解析】sin211°+sin279°=sin211°+cos211°=1.答案：14.若cos(+α)=m，则sinα=_______.【解析】因为cos(+α)=-sinα=m，所以sinα=-m.答案：-m225.将下列三角函数化为0°到45°之间角的三角函数.(1)sin67°=________.(2)cos78°=________.(3)tan129°=________.【解析】(1)sin67°=sin(90°-23°)=cos23°.(2)cos78°=cos(90°-12°)=sin12°.(3)tan129°=tan(180°-51°)=-tan51°.答案：(1)cos23°(2)sin12°(3)-tan51°【知识探究】知识点诱导公式五～六观察图形，回答下列问题：问题1：设图中单位圆上的P1坐标为(x，y)，能否用其表示出sinα，sin(-α)，cosα，cos(-α)的值.问题2：诱导公式一～六的统一记忆方法是什么？22【总结提升】1.对诱导公式五、六的两点说明(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系.可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆.(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.22.对诱导公式一～六的两点说明(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系.(2)公式一～六的记忆口诀和说明①口诀：奇变偶不变，符号看象限.②说明：【题型探究】类型一利用诱导公式化简、求值【典例】1.(2015·临沂高一检测)若cos(π+A)=，那么sin(π-A)的值为()2.已知sin(20°+α)=，则cos(110°+α)=()1332112323A.B.C.D.333313112222A.B.C.D.33333.化简：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2【解题探究】1.典例1中，利用诱导公式求cos(π+A)，分别等于什么？提示：cos(π+A)=-cosA，=-cosA.2.典例2中，20°+α与110°+α有什么关系？可以联系到哪组诱导公式？提示：20°+α+90°=110°+α，cos(90°+α)=-sinα，sin(90°+α)=cosα.3sin(A)23sin(A)23.典例3中，如何化简.提示：119cos()sin()22，11cos()cos(6)cos()sin222，9sin()sin(4)sin()cos.222【解析】1.选A.因为cos(π+A)=-cosA=所以2.选A.cos(110°+α)=cos［90°+(20°+α)］=-sin(20°+α)=13，31sin(A)cosA.231.33.原式=sin()(cos)(sin)cos(6)2(cos)sinsin()sin(4)2［］sincossincos()sincossin(sin)2tan.cossinsincoscossinsinsin()2【方法技巧】1.求值问题中角的转化方法2.用诱导公式进行化简的要求三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：(1)化简后项数尽可能的少.(2)函数的种类尽可能的少.(3)分母不含三角函数的符号.(4)能求值的一定要求值.(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.【变式训练】1.若sin(3π+α)=-，则cos(-α)等于()【解析】选A.因为sin(3π+α)=sin(π+α)=-sinα=所以cos(-α)=cos[4π-(+α)]=cos(+α)=-sinα=12721133A.B.C.D.222212，722212.2.已知cos31°=m，则sin239°tan149°的值是()【解析】选B.sin239°tan149°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=-cos31°(-tan31°)=sin31°=22221m1mA.B.1mC.D.1mmm21m.类型二利用诱导公式证明恒等式【典例】求证：【解题探究】本例中，证明等式的策略是什么？提示：从左边开始，使得它等于右边.2cos()cos(2)2.33sincos[sin()1]cos()sin()sin()222【证明】左边===右边.所以原式成立.coscoscos(cos1)coscoscos2111cos1cos21cos1cos(1cos)(1cos)1cos22sin【延伸探究】本例等式左边“sin”与“cos”互换，右边改为“”，试证等式成立.【证明】左边==右边.所以原式成立.2tancossin()sin(2)33sin[cos()1]sin()cos()cos()222sinsin11sin(sin1)(sin)(sin)sinsin1sin12111sin(1sin)2sin2sin2tan1sin1sin(1sin)(1sin)1sincos2cos【方法技巧】证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.【变式训练】证明：【证明】左边===-1=右边.所以原式成立.5cos()21.5sin()tan(6)2cos(2)2sin(2)tan()2cos()sin2sinsin()(tan)cos2cos【补偿训练】求证：【证明】左边===-tanα=右边.所以原等式成立.tan(2)sin(2)cos(6)tan.33sin()cos()22tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]222(tan)(sin)cossinsin[()]cos[()]sin()cos()22222sinsincossincos类型三诱导公式的综合应用【典例】(2015·潮州高一检测)已知cosα=-，且α为第三象限角.(1)求sinα的值.(2)求f(α)=的值.45tan()sin()sin()2cos()【解题探究】本例中，sinα的符号如何确定？化简f(α)用哪几组诱导公式？提示：由α为第三象限角知sinα＜0，化简f(α)用公式二、四、五.【解析】(1)因为cosα=-，且α为第三象限角，所以(2)f(α)=452243sin1cos1().55tansincostansincos3sin395sin().4cos5205【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变，求f(α)=的值.【解析】7sin(5)cos()tan()2tan(19)sin()3sin()cos()tan()2f()tan()(sin)［］sin(sin)tan3sin.tan(sin)52.(变换条件、改变问法)本例条件中“cosα=-”改为“α的终边与单位圆交于点P(m，)”，“第三象限”改为“第二象限”.试求的值.45154sin()23sin()sin()12【解析】由已知得解得又因为α为第二象限角，所以m＜0，故所以原式=2215m()14，21m16，1m4，151sincos44，，sin()cos2(sin)(cos)1sincos11()13154.6151315144【方法技巧】用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.2【补偿训练】已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，求的值.233sin()cos()22tan()cos()sin()22【解析】方程5x2-7x-6=0的两个根为由α是第三象限角，得sinα=-，则cosα=-，tanα=所以原式=123xx2.5，3545sin3cos4，22sin(2)cos[2()]sin()cos()2222tantansincossincos222cos(sin)39tantan().sincos416【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变，求的值.【解析】原式=233cos()sin()22sin()cos()tan()222223cos()(cos)sincos1162.cos(sin)tancos(sin)tantan92.(变换条件、改变问法)本例条件中“sinα”改为“tanα”，求的值.3sin()cos(2)tan(2)33sin(2)cos()tan()tan()22【解析】由原题知tanα=2，由解得原式=22sin2cossincos1，，224sin51cos5，，3sincostan()3sin()2sin(sin)(tan)3cos()2444222222sinsinsin416tansin2.cossin1cos55sintansin拓展类型三角复合函数的求值问题【备选典例】1.已知f(cosx)=cos3x，则f(sinx)=()A.-sin3x